学情，教学设计的基点

——《排队问题》教学案例分析

温州市黄龙{dy}小学  古丽雅

案例背景：

今年改上数学，总觉得自己像个新老师，有数不尽的东西要学习。趁着校本教研的磨课机会，我让自己好好地锻炼了一把，在不断的磨课过程中，觉得自己的收获颇多。这次我选择了数学第七册第七单元数学广角第三课时的排队问题执教。这是一节蕴含着运筹思想的数学思维训练课，通过让学生在解决实际问题的过程，认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题{zy}方案的意识，感受数学在日常生活中的广泛应用，并尝试用数学的方法解决生活中的简单问题。这节课我一共上了三次，由于是借班上课，每次上课我力求根据不同的学情，来修改自己的设计，每次的尝试都让我有所收获。

案例描述：

{dy}次上课  学情：学生基础普遍比较薄弱，思维活跃的学生不多，善于接受性学习。于是我决定运用情境引导，先以简单的例子进行铺垫，突破难点，再以例题的形式引导学生探究后，再让学生根据这种方法进行运用。

教学设计：

一、情境引入，初步感受优化

出示课件：

（旁白）昨天老师约了你们班主任X老师去面馆吃面，我们点了两碗面：牛肉面(A)和海鲜面(B)。估计烧牛肉面大约10分钟，海鲜面约7分钟。（备注：面馆只有一名厨师，每次只能煮一碗面）你认为厨师师傅怎样安排煮面的顺序比较合理呢？为什么？

【设计意图：去面店吃面等待上面的过程是学生所熟悉的情境，利用学生熟悉的情境引入，容易激发学生的学习兴趣。】

1、学生独立思考

2、全班讨论、交流。

3、教师汇总比较。

4、结论：使顾客等候时间的时间总和最少，就比较合理。

【设计意图：以研究2个人等面来做铺垫，因为厨师煮面的时间正好是客人等面的时间，与等候时间这个知识点和相近，学生容易接受，以此来突破等候时间这个难点，并为下面多人等候时间的计算做好铺垫。】

二、自主探究，进一步感受优化

如果那天老师约了X老师和Y老师，我们共点了三碗面，牛肉面(A)10分钟、海鲜面(B)7分钟和青菜面（C）5分钟。那厨师应该怎样安排煮面顺序最合理，使我们等候的时间总和最少呢？

1、学生独立思考

2、分组讨论、交流,并完成表格

3、全班汇报、汇总、小结

【设计意图：有了前面的“扶”，这里放手放学生通过四人小组合作讨论来得出所有的煮面方案，对学生来说只是跳一跳摘果子，非常轻松。】

得出：最合理煮面顺序为青菜面（C）5分钟——海鲜面(B)7分钟——牛肉面(A)10分钟。怎样列式计算最简便？（5×3 ＋ 7 ×2+10=39（分））

【设计意图：将生活中的方案和想法进行数学化，符合数学课的特点，同时是对学生的数学思维进行培养，而让学生寻找最合理的方案，是对学生优化思想的建立，同时也让学生树立生活中处处有数学的思想】

师：想一想，寻找等候时间最少的方案有什么好的办法？（排队时，按照从用时少的到用时多的进行排列）。

三、练习应用

1、完成书本例3

（1）、观察图，说说可以得到哪些信息？

（2）、找出{zy}方案。

（3）、列出算式。

2、小明、小亮、小叶、小红同时来到学校医务室。医务室只有一名医生。

（1）、你能用今天学到的知识，给他们合理安排一下排队的顺序吗？

（2）、说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？你认为怎样安排最合理？

（小明包扎需要5分钟，小亮打针需要3分钟，小叶看牙需要1分钟，小红配药需要8分钟。）

独立完成，并列出算式。

【设计意图：由于教材中的情境与学生比较远，所以放在练习中，让学生在初步掌握方法后再进行练习，比较符合学生的学情。】

3、如果有五个同学呢？怎么合理安排？六个？七个？……

4、小结：要使等候的时间总和最少，只要按照从用时少的到用时多的进行排列就可以了。

四、            全课总结，学生独立练习

1、教师简单介绍有关排队论的问题。

（排队论或称随机服务系统理论,是数学运筹学的分支学科。也是研

究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。 其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥{zj0}效益。日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科。

排队论的应用非常广泛。它适用于一切服务系统。尤其在通信系统、交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等方面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。）

【设计意图：数学不是简单的算算就可以了，学生的数学知识系统的建立与数学知识的积累就要靠课堂中的渗透。】

2、小结：这节课你有什么收获？还有什么疑问吗？

【设计意图：让学生说说自己的收获，既是对课堂教学效果的一个检测，又能帮助学生整理学习的知识点。】

五、拓展：

{yt}，赵、李、孙、钱、陈五位老奶奶计划会集到其中一家聊天，要使五人走的路程之和最短，应该会集到谁家？五人走的路程之和最短是多少米？

作业设计：想一想，生活中，还有哪些与此有关的事件，请收集一个例子，与同学交流。

课后绝大部分学生都掌握了这种方法，而且解题速度快，但让学生说说这么解题的思想方法时，学生表现出畏难情绪。听课老师觉得设计过于模式化，比较死板，有让学生套用的嫌疑，并且练习设计形式单一，缺乏层次感，总而言之，老师“扶”得太多了。

第二次上课  学情：学生思维比较活跃，数学表达能力较强。根据这个学情我准备大胆放手，通过情境创设后，让学生根据表格进行例举，然后通过寻找优化方案，让学生体会优化思想和运筹思想。

教学设计：

一、情境引入，初步感受优化

1、出示课件：

（旁白）{yt}，小红、小亮和小明做值日，他们仨同时（强调读）来到一个自来水龙头前。

小红：我洗抹布只要1分钟时间。

小亮：我装一桶水要4分钟时间。

小明：我洗脸盆架要8分钟。

小红、小亮、小明：我有事，让我先洗（装）吧。

怎么办呢？（学习小精灵：）你们排队吧，那谁拍{dy}呢？

【设计意图：利用生活中学生熟悉的情境——值日排队接水、洗抹布等情境，激发学生的学习兴趣。】

1、四人小组讨论，根据表格提示，列举方案。我们将小红、小亮、小明三个人分别用字母A、B、C表示。

2、教师巡视，参与学生的讨论。（时间约为5分钟）

【设计意图：引入学习后，给予学生充分的时间去思考、讨论，由于此情境学生比较熟悉，以及例举排队方案都是以前的知识，学生是能够将全部方案都例举出来的。】

3、汇报交流，寻找{zy}化方案

得出结论：如果让你来给他们排队，你会选择哪种方案？说说你的理由？

怎样列式计算：（1+1+4+1+4+8=19小时或者1×3+2×4+8=19小时）你觉得怎样方便？说说1×3，2×4，和8分别代表什么？

【设计意图：将生活中的方案和想法进行数学化，符合数学课的特点，同时是对学生的数学思维进行培养，而让学生寻找最合理的方案，是对学生优化思想的建立，同时也让学生树立生活中处处有数学的思想】

师：想一想，寻找等候时间最少的方案有什么好的办法？（出示：排队时，按照从用时少的到用时多的进行排列，这样就能让我们节约时间，在相同的时间内做更多的事情）。

【设计意图：经过探究，引导孩子进行总结、提升，为下一步的学习做好铺垫。】

揭题：这就是我们今天要学习的排队问题。

三、练习应用

（一）选择：

1、小明（A）、小亮（B）、小叶（C）同时来到学校医务室。医务室只有一名医生。小明包扎需要5分钟，小亮打针需要3分钟，小叶看牙需要1分钟。

你能用今天学到的知识，给医生选择合理的排队顺序。

（1）A-B-C  (2)A-C-B  (3)B-A-C 

(4)B-C-A  (5)C-A-B   (6)C-B-A

2、有3个同学来到面馆吃面，他们共点了三碗面，牛肉面(A)10分钟、海鲜面(B)7分钟和青菜面（C）5分钟。面馆里只有一位厨师，厨师运用了一种煮面顺序最合理的方案，使3个同学等候的时间总和最少，为（  ）分钟。

（1）49    （2）39  （3）29  （4）22

你能说出厨师选择的合理的煮面顺序吗？

【设计意图：练习从选择到计算，是一种由扶到放的过程，学生比较容易接受，练习内容又十分贴近学生的生活，学生乐于参与。】

（二）、练一练

1、出示：有四个同学同时来到一个水龙头前，他们分别要洗手、洗抹布、洗拖把和用水桶装水。你能用今天学到的知识，给他们合理的安排一下排队的顺序吗？说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？（出示时间）你认为怎样安排最合理？

2、如果有五个同学呢？怎么合理安排？六个？七个？……

四、全课总结，学生独立练习

1、这节课你有什么收获？出示小结：要使我们的安排更合理（等候的时间总和最少），只要按照从用时少的到用时多的进行排列就可以了。生活中，由于大家的时间是同样多的，所以我们要选择这些优化的方案，让大家花最少的时间做更多的事情，因为我们的时间是非常宝贵的。

【设计意图：让学生说说自己的收获，既是对课堂教学效果的一个检测，又能帮助学生整理学习的知识点。】

2、教师简单介绍有关排队论的问题。

（排队论或称随机服务系统理论,是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥{zj0}效益。排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科。）

【设计意图：数学不是简单的算算就可以了，学生的数学知识系统的建立与数学知识的积累就要靠课堂中的渗透。】

五、拓展练习

1、{yt}，赵、李、孙、钱、陈五位老奶奶计划会集到其中一家聊天，要使五人走的路程之和最短，应该会集到谁家？五人走的路程之和最短是多少米？

2、有210人选举大队长,有三位候选人甲、乙、丙，每人只能选其中1人，不能弃权。前190张票中甲得75张，乙得65张，丙得50张，规定谁的票最多谁当选。若甲要当选，最少还需要多少张票？

【设计意图：随着课堂教学的深入，简单的机械练习对学生来说，意义不大，只会更容易让学生丧失学习兴趣，而本环节设计的拓展练习，既融合了今天学习的内容，又是对今天学习内容的一个提高，对激发学生的学习动力是非常有帮助的。】

作业设计：

想一想，生活中，还有哪些与此有关的事件，请收集一个例子，与同学交流。

【设计意图：数学广角是生活中的数学，我们的学习既要从生活中来，更要回到生活中去。】

整堂课学生思维并不像原来执教老师所说的那么活跃，一开始，出示表格的时候，我的引导不够，铺垫不够，在没有讲清“等候时间”是什么的情况下，让学生来填写表格，大部分的学生都懵了。虽然在四人小组合作的过程中，我穿插了几句，再次进行引导后，学生也理解意思了，但学生可能觉得被难住了，所以影响了整堂课的质量。听课老师觉得我放手过快，在没有做好任何引导和铺垫的情况下，学生没有理解题意如何解题。建议我在教学中要注意由扶到放的过程。

第三次上课  学情和第二节课的学情很类似，学生的数学基础会更好一点，数学思维也比较活跃，表达能力也更强。

教学设计：

一、情境引入，初步感受优化

1、出示课件：

（旁白）{yt}，小红、小亮和小明做值日，他们仨同时（强调读）来到一个自来水龙头前。

小红：我洗抹布只要1分钟时间。

小亮：我装一桶水要4分钟时间。

小明：我洗脸盆架要8分钟。

小红、小亮、小明：我有事，让我先洗（装）吧。

他们为什么都想要自己先来呢？（还有事情要做，如果别人先来了，自己就要在那里等）

【设计意图：通过学生熟悉的情境引入学习，容易激发学生的学习兴趣。通过提问，帮助学生理解了等候时间的含义，为解决难点埋下伏笔。】

那好，如果按照女士优先的原则，接水的排{dy}，洗抹布的排第二，洗脸盆架排第三的顺序，我们来计算一下，他们三个人做完三件事情需要的时间和等候的时间。为了表达方便，我们将洗抹布的标为A，接水的标为B，洗脸盆架的标为C。

出示表格，填写B-A-C顺序。

【设计意图：通过引导学生填写一个方案，来帮助学生理解等候时间的产生和计算，为合理安排时间的重要性做好铺垫。】

你还能想出其他的排队方案吗？四人小组根据表格填一填。提醒：怎么填，才能让所有的方案都不遗漏呢？

【设计意图：提醒学生不要遗漏方案，培养学生有序思考的思维方式，同时为计算和选择合理的方案打好基础。】

5、教师巡视，参与学生的讨论。（时间约为3分钟）

6、汇报交流，寻找{zy}化方案

得出结论：如果让你来给他们排队，你会选择哪种方案？（A-B-C）说说你的理由？(节约时间,等候的时间最少)

如果把这个方案用算式的形式表达，怎样列式？

（1+1+4+1+4+8=19小时或者1×3+2×4+8=19小时）

你觉得怎样方便？说说1×3，2×4，和8分别代表什么？

【设计意图：将生活中的方案和想法进行数学化，符合数学课的特点，同时是对学生的数学思维进行培养，而让学生寻找最合理的方案，是对学生优化思想的建立，同时也让学生树立生活中处处有数学的思想】

师：想一想，寻找等候时间最少的方案有什么好的办法？

（让用时少的人先开始做事情，这样大家等候的时间就会少，那我们就能花最少的时间做更多的事情了。）

【设计意图：经过探究，引导孩子进行总结、提升，为下一步的学习做好铺垫。】

揭题：这就是我们今天要学习的排队问题。

刚才我们得出了一个结论——排队时，让用时少的人先排，让用时多的人拍{zh1}。真的是这样的吗？接下来我们继续进行验证。

【设计意图：数学广角作为一节数学思维训练课，在此时通过例题得出的结论，让学生在练习中继续验证，以期得出一种通用的结论，让学生得到尝试探究的甜头，激发他们敢于探究的兴趣。】

三、练习应用

（一）选择：

1、小明（A）、小亮（B）、小叶（C）同时来到学校医务室。医务室只有一名医生。小明包扎需要5分钟，小亮打针需要3分钟，小叶看牙需要1分钟。

你能用今天学到的知识，给医生选择合理的排队顺序。

（1）A-B-C  (2)A-C-B  (3)B-A-C 

(4)B-C-A  (5)C-A-B   (6)C-B-A

2、有3个同学来到面馆吃面，他们共点了三碗面，牛肉面(A)10分钟、海鲜面(B)7分钟和青菜面（C）5分钟。面馆里只有一位厨师，厨师运用了一种煮面顺序最合理的方案，使3个同学等候的时间总和最少，为（  ）分钟。

（1）49    （2）39  （3）29  （4）22

你能说出厨师选择的合理的煮面顺序吗？

（二）、练一练

1、出示：有四个同学同时来到一个水龙头前，他们分别要洗手、洗抹布、洗拖把和用水桶装水。你能用今天学到的知识，给他们合理的安排一下排队的顺序吗？说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？（出示时间）你认为怎样安排最合理？

2、如果有五个同学呢？怎么合理安排？六个？七个？……

【设计意图：练习从选择到计算，是一种由扶到放的过程，学生比较容易接受，练习内容又十分贴近学生的生活，学生乐于参与。】

四、全课总结，学生独立练习

1、这节课你有什么收获？

小结：要使我们的安排更合理（等候的时间总和最少），只要按照从用时少的到用时多的进行排列就可以了。生活中，由于大家的时间是同样多的，所以我们要选择这些优化的方案，让大家花最少的时间做更多的事情，因为我们的时间是非常宝贵的。

【设计意图：让学生说说自己的收获，既是对课堂教学效果的一个检测，又能帮助学生整理学习的知识点。】

 2、教师简单介绍有关排队论的问题。

（出示：你知道吗？

排队论或称随机服务系统理论, 起源于20世纪初的电话通话，是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥{zj0}效益。排队论1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科。）

【设计意图：数学不是简单的算算就可以了，学生的数学知识系统的建立与数学知识的积累就要靠课堂中的渗透。】

五、拓展练习

1、小明、小亮、小叶、小红同时来到学校医务室。医务室只有一名医生。

（1）、你能用今天学到的知识，给他们合理安排一下排队的顺序吗？

（2）、说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？你认为怎样安排最合理？

（小明包扎需要5分钟，小亮打吊针需要30分钟，小叶看牙需要1分钟，小红配药需要8分钟。）

2、{yt}，赵、李、孙、钱、陈五位老奶奶计划会集到其中一家聊天，要使五人走的路程之和最短，应该会集到谁家？五人走的路程之和最短是多少米？

【设计意图：随着课堂教学的深入，简单的机械练习对学生来说，意义不大，只会更容易让学生丧失学习兴趣，而本环节设计的拓展练习，既融合了今天学习的内容，又是对今天学习内容的一个提高，对激发学生的学习动力是非常有帮助的。】

作业设计：

想一想，生活中，还有哪些与此有关的事件，请收集一个例子，与同学交流。

【设计意图：数学广角是生活中的数学，我们的学习既要从生活中来，更要回到生活中去。】

课后，听课老师觉得这节课扶放结合，不论是教学引导，还是学生的配合、合作方面都很不错，但评价语等细节方面还有待进一步改进。

案例反思：

通过三节课的磨课活动，让我对数学思维训练课有了初步的了解，也对此有些许感受。

1、  xx学情，充分预设，寻找适合的教学方式。

类似于数学广角这些思维训练课，通过让学生进行自主探究、合作来寻找解题方法，教师的引导和教学预设是非常重要的。根据学情进行设计时，对学生可能产生的情况要有充分的估计。例如第二节课，与我合作的学生是思维是比较活跃的，由于预设不足，高估了学生的水平，觉得学生应该能够看得懂表格的意思，却忘记了他们毕竟只是10岁刚出头的小孩子，因此引入情境后，马上抛出了表格，让学生在不理解题意的情况下，走了不少了弯路。不论学生的学情如何优秀，作为老师不能把他们理想化，在课堂中教师的引导和指导作用是不可忽视的。

2、  给予学生充分的探究、合作时间，让学生真正感受探究过程，体验学习的乐趣。

这节课设计过程中，我总觉得自己对四人小组合作的时间把握和效果估计是很担心的。每次听别人的课，总觉得孩子们在短短的一两分钟之内就有了让全场惊讶的{zj0}答案，而我的学生们却是城郊结合部的杂牌军，如何让学生在合作之后能拿出答案呢，会不会四人小组合作的过程成为了一场秀，学生根本没有好好参与其中怎么办？种种疑虑，缠绕心头，最终觉得{wy}的解决途径就是给予学生充分的合作、探究时间，让学生真正能投入其中，我想只有老师真正地愿意付出课堂时间，学生才会切实地开展合作探究活动，才能有所回报。三节课我都给予了学生充分的时间，不论当时课堂效果活跃也罢，冷场也罢，但学生都给予了我预设的满意答案，为整堂课的顺利进行做出了最重要的贡献。当然，他们在看到自己的成果成为了一堂课的中心之后，老师在他们得出的结论上进行教学时，学习的热情就高涨了很多，他们体验到了学习的成功与乐趣，真正体会到了自己是学习的小主人。

3、  扶放结合，梳理思维过程，帮助学生进行有序思考，体验优化思想。

教学过程的扶放结合是所有课堂中的常用方法，这节课，我通过例举其中的一种方案，引导学生理解了难点“等候时间”之后，再放手让学生自己进行例举。并在他们进行例举的时候，通过提醒他们：想一想怎样例举才会不遗漏呢？帮助学生进行有序思考。在寻找优化方案时，让学生通过观察表格，结合自身的经验来谈谈自己的见解，学生觉得自己更有据可依，有理可谈，优化思想在不知不觉中就进行了渗透。在巩固练习中，他们更是体会到优化思想在生活中的应用。

4、  思维碰撞，体验合理安排时间重要性。

在第三节课的拓展练习中，我掺入了一道“合理安排时间和优化方案选择”的思维碰撞题：小明、小亮、小叶、小红同时来到学校医务室。医务室只有一名医生。

（1）、你能用今天学到的知识，给他们合理安排一下排队的顺序吗？

（2）、说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？你认为怎样安排最合理？

（小明包扎需要5分钟，小亮打吊针需要30分钟，小叶看牙需要1分钟，小红配药需要8分钟。）

此题一出，学生一开始习惯性地按照这节课的优化方案选择的方法进行计算，但他们在计算过程中，结合了自己的生活情境——打吊针只要一挂上，医生就可以为别的病人服务的生活经验，又重新进行了时间的合理安排。他们将打吊针排在了{dy}个位置，然后在吊针时间范围内再进行优化方案的选择安排。此番思维碰撞，打破了这堂课思维模式固定的格局，学生个个心领神会——生活中不仅要会选择优化方案，更要学会合理安排时间。