今天满怀学习的热情跑到新海楼自习，准备面对残酷的2大天书。没想到看随机信号竟如此轻松，顿感心旷神怡，生活充满了希望～～～于是乎换来矩阵论，不料一题不懂一题不会还有一题根本不知答案所云 {zh1}终于看到一能算的题，于是拼命演算，耗时近2小时，，，未果……

以下是计算中的一点心得

首先要看清题目要求求什么。对于矩阵A只求它的相似三角矩阵，一般用逆矩阵求；如果需要求对角线上为A的特征值的三角矩阵，或指明用正交矩阵(或酉矩阵)乘A，则要用Schur定理。

例如对A=, 其特征矩阵为

特征值为λ₁= λ₂= 1，λ₃= 10

当λ= 1时，特征矩阵化为 ，即

得特征方程x₁+2x₂-2x₃= 0

令x₁= 2，x₂= 0，则x₃= 1；令x₁= 0，x₂= 1，则x₃= 1

即λ=1的特征向量为(2,0,1)^T和(0,1,1)^T

当λ=10时，特征矩阵化为 ，即

得特征方程

令x₂= 2，x₃= -2，则x₁= 1，即λ=10的特征向量为(1,2,-2)^T

这时就解出了特征方程的基础解系。下面分2种解法求A的相似三角阵

（1）逆矩阵法

取一个特征向量，并将其扩展为P₁。这里选取P₁时可用矩阵A的多个线性无关的特征向量作为P₁的前几列，这样能使P₁^-1AP₁的前面多几个列乘上三角状。

但由于平时能碰到的题目基本都是3╳3的矩阵，所以不如取较一个简单的特征向量作为P₁的{dy}列，然后任取后两列（便于计算的）。注意P₁为非奇异矩阵，即det(P₁)≠0

这里我们取 P₁ =， 则 P₁^-1 =

计算 P₁^-1AP₁ =

取出非三角部分A₁ =,求出特征值λ₁=2，λ₂=20

求出属于λ₁=2的特征向量(3,1)^T，λ₂=20的特征向量(3,5)^T

则取 Q =， 得 Q^-1 =

计算 Q^-1A₁Q =

令Q为P₂中一部分，位置对应为A₁在A中的位置P₂ =

令 P = P₁P₂ = ， 则有

P^-1AP = P₂^-1(P₁^-1AP₁)P₂ =

得出三角阵

（2）正交（酉）矩阵法

对矩阵A求特征值的过程相同，但是要求特征向量归一化，比如此例中要求属于λ=10的特征向量x₁= (1/3,2/3,-2/3)而不是(1,2,-2)，这样才能使|x₁|=1

将x₁扩充为Cⁿ的一个标准正交基x₁,x₂,…,x_n，记

P₁=(x₁,x₂,…,x_n)

对x₂,…,x_n的求解需要用到Schmidt正交化

（以下是具体的标准正交化过程：

令y₁= (2,0,1) , y₂= (0,1,1) , y₃= (1,2,-2)

对其进行正交化

x₁’ = y₁ = (2,0,1)

= (-2/5,1,4/5)

= (1,2,-2)

再单位化

x₁ = = (2,0,1)

x₂ = = (-2,5,4)

x₃ = = (1,2,-2)

）

则P₁是酉矩阵，且P₁ = , P₁^H =

由于P₁不是复矩阵，所以其转置共轭矩阵P₁^H相当与P₁^T，

于是可得 P₁^HAP₁ =

由于本例是一个特例，所以直接得出了所要求的矩阵。

实际上可能需要和过程（1）中一样，取A₁和S，记P₂ = ，P = P₁P₂，{zh1}由式P^-1AP才能得出{zh1}结果。

本特例的matlab程序如下：

A=[2,2,-2;2,5,-4;-2,-4,5];

a=1/(5^(1/2));

b=1/2^((1/2));

y1=[2,0,1];

y2=[0,1,1];

y3=[1,2,-2];

x1=y1;

x2=y2-x1*dot(y2,x1)/dot(x1,x1);

x3=y3-x2*dot(y3,x2)/dot(x2,x2)-x1*dot(y3,x1)/dot(x1,x1);

x1=x1/norm(x1);

x2=x2/norm(x2);

x3=x3/norm(x3);

P1=[x1',x2',x3'];

P1'*A*P1