不平衡辐射形配电系统下P-Q分解法中的潮流

Ray D. Zimmerman    Hsiao-Dong Chiang

School of Electrical Engineering

Cornell University, Ithaca, NY 14853 USA

摘要：

本文提出了一种在不平衡辐射形系统下新的潮流计算公式和有效的解决方法。其综合模型由导线、开关、变压器、旁路电容、发电机组、以及几种负载组成。考虑到配电网的辐射形结构，本文提出了新的关于三相配电网潮流方程的疑难公式。这个新公式有以下显著特点：相比传统的计算公式，它大大减少了潮流方程的数目。利用配电系统的数据参数和结构参数可以得到P-Q分解法的解决方法。这里所提出的解决方法是在三相不平衡292总线和394总线测试系统上计算的，结果非常可观。

关键词：潮流、负荷潮流、辐射形网络、配电系统、P-Q分解法

引言

负荷潮流在任何电力系统分析中都是非常重要的基本工具，而且还可以应用于运行和规划阶段。一些应用需要反复的负荷潮流计算，尤其是在电力系统的{zy}化和配电站自动化上。在那些应用上，能否尽快解决负荷潮流问题是非常重要的。自20世纪50年代到60年代，数字计算机的发明和广泛应用以来，已经提出了很多解决负荷潮流问题的方法。大部分的方法成熟于输电系统，几年后，改进的牛顿方法已经广为应用，比如P-Q分解法。

不幸的是，配电系统中，用于标准牛顿P-Q分解法中的简化假设并不十分有效；特别是，R、X系数会更高。然而，人们已经做很多工作来攻克那些障碍。

另一方面，那些适用于典型输电系统网络拓扑的方法，同样也是用于那些配电系统中典型的辐射状和树状结构。文中，我们会特意对比一下上面提到的新方法和标准牛顿方法以及高斯消去法。那些方法并不直接利用系统的辐射形结构，因此需要解方程组；方程的个数由总线的个数所确定。

我们旨在得到一个公式和解决大型三相不平衡系统的算法，该系统使用辐射形拓扑结构来减少方程和未知数的个数，同时使用编码结构来进一步减少输电系统中P-Q分解法的计算量。

在[7]-[13]中提出了一些辐射性系统的具体运算规则。这些方法都是基于向前或者向后扫描梯形网络的理念。在[7]中，向后扫描需要计算在总线上相等的运动点阻抗，向前扫描用来获得新的电压电流。在[8]中，当向前和向后扫描的是直流校正电压时，这里提到的方法可以更新电压电流。各种电压、电流、以及潮流更新的组合，可以用于[9]-[14]中的前推回推。一种类似于本文中所提到的方法：快速分解的牛顿新法，可以用于[13]中的向后扫描。

在这篇文章中，我们提出了一个新的疑难公式和具有以上几种方法特点的解决算法。它可能与[9]和[13]中所用的方法非常相近。我们的数据结果还有对[9]中向前/向后扫描方式的对比。

基本概念：

我们的做法基于这样的事实：由于电压电流在每根输电馈线一侧，而且电流流向每一个次旁路，那就很容易计算其余馈线上的所有电压电流。既然馈线一侧的电流为0，那么电压可以视为未知量；而且既然电源电压有具体的限制范围，那么我们就可以用来计算电压是否匹配。

通过对配电线数值特征的探究，我们可以近似地分解含有未知量和电压的雅可比公式。在牛顿P-Q分解法中得到的结果可以减少负荷潮流方程。

P-Q分解法是在标准牛顿法、高斯消去法以及在[9]中前推回推法的基础上得到的。每一种方法都是在292线和394线测试系统中计算和比较后得到的。

总线和支路参数

在大多数负荷潮流公式中，方程组和未知量与电网中的每一条总线有关，而且这些方程和未知量是根据详细的总线顺序而得到的。由于系统的辐射形结构缘故，可以通过减少方程组和未知量的个数，使得每个方程组和未知数只与整个支路有关，而与单个总线无关。因此我们需要一个合适的支路系数来确定这些方程和方程类别。

辐射形系统可以被看作带支路的主馈线；这些支路可以带有次支路，次支路中也可以再带有次支路。那么我们得先用支路代号来表示支路 i 的位置；支路代号从支路 i 的末端开始，一直到电源处结束。举个例子来说，如果主馈线的位置是1，次支路的位置就是2，次支路的次支路（三次支路）就是3。

只要每个支路开始于{sg}总线位置，总线地址就可以改变；那么任何一条总线就可以通过一个有序对l, m, n{wy}确定，其中n是总线系数。所以，l, m, n指的是在支路上第m位置处的第n条总线。电源给定的参数为1 1 0 . 图1是63总线系统的参数示意图。方框里的数字指的是支路的有序反向广度优先（RBF），RBF可以通过反相序列中所有的支路系数而得到，即先通过位置再通过支路系数。

当 i 代表一个支路的有序对，k 代表一个总线的三重有序对时，我们也可以使用以下简写符号。支路 i-1指的是支路 i 的母线；总线k-1指的是总线 k 的母线。总线k+1也可以用来表示在同一条线路上总线 k 之后的总线。这种符号可以用于表示参数电压、电流、阻抗。

系统建模

为了研究潮流，我们建立了辐射形配电系统模型；该模型是连接配电线、开关、或者变压器到具体电源总线的总线网络。每一跳总线可以连有相关负载、旁路电容、或者发电机组。如图2所示，该模型可以表示为几个基本模块的辐射形互联。从发电机组出来的带圆点线、旁路电容以及接地负载都可以表示为连接在一起的虚拟第四模块。由于一个分支可能是单绕组、双绕组或者三绕组，每个标记的数目可以分别表示为1×1、2×1、3×1的矢量和。为了简化这种表示方法，有时我们会将所以情况都假设为三相绕组，而单绕组和双绕组支路都可以用我们的程序来处理。

我们的公式里隐含了一个重要的关键概念，那就是一条总线上的电压和电流可以被表示为在相邻总线上电压和电流的函数。如果我们让：

                                                                    那么我们可以写出支路的新函数，为：

      这里的 是一个在总线K上包含电压和电流实部和虚步的12×1向量。函数 取决于以下两种因素：连在总线K上的次支路和由配电线、开关、变压器、负载、旁路电容、以及发电机组构成的模型。

按照以下模型，通过 ，利用(4)-(8)公式，我们可以计算流入负载、旁路电容以及发电机组的电流。考虑到 和电流 流入了偏离总线K的次支路，我们在总线K上应用KCL可以得到：

其中 表示与次支路上总线K相邻的其它总线。

至此，对于每条总线K，通过方程（2）、方程（3）以及表I中的合适公式，我们可以将总线K-1上的电压和电流表示为在总线K上电压和电流的函数。

负载模型

这里的负载模型是一般的模型。负载要么是星形连接，要么是三角形连接；要么是恒定阻抗，要么是恒定电流，要么是恒定复功率。对于星形连接，电流可以通过公式(4)-(6)计算而得。在(4)-(6)中，带标号的常量和除法都是用的矩阵相乘。对于流入第四级负载电流的计算，需要利用公式(4)-(6)中合适的量。这一模型很容易就可以推广到以上所有情况的线性组合。

旁路电容模型

旁路电容以星形连接和三角形连接的恒定导纳为模型。对于接地星形连接而言，作为电压函数的流过电流是通过(7)中的矩阵相乘而得到的。

发电机组模型

发电机组以星形连接和三角形连接的恒定复功率组为模型。而且流过电流通过和公式(6)一样形式的(8)公式计算而得。

导线模型

这里所用到的模型是标准 π 模型。配电线K的阻抗可以表示为串联阻抗 ，而且在两个导纳为 的分流之路上可以产生充电效应。阻抗和导纳都是n×n复数矩阵，其中n是该线路中的绕组数。通过公式(9)和(10)可以计算线路流出端的电压和电流。

开关模型

分段开关以零阻抗的支路为模型。公式(11)和(12)给出了相关电压电流的关系。

变压器模型

三相绕组变压器以导纳矩阵为模型。该矩阵源于[15]中的接地星形到接地星形连接。

假设公式(13)和(14)给出了二次侧的电压和电流，那么从公式(15)，我们就可以求得一次侧的电压和电流。

疑难公式

我们提出了一个新的负荷潮流公式，它能够减少方程和未知量的个数。负荷潮流问题一般被这样描述：把一组非线性功率不匹配方程作为总线电压的函数。由于在配电系统中，电源是指定总线上的{wy}电压，那么在所有三相绕组系统中，n-总线上的方程和未知量的个数为6(n-1)。该公式可以将方程和未知量的个数减少到只有系统支路的6倍。为了证明我们的公式，我们先由从单主馈线组成的系统开始入手。

单馈线

如果给定任何馈线一端的电压和电流，我们就可以计算出其余的电压和电流。也要注意到这点：在[13]中公式可知，电流可以被复功率潮流所替换。我们有两个边界条件：在馈线一端的电流 为0，电源电压 为恒定电压 。这样我们就可以将电源处任意电流 以及任意馈线末端电压 视为未知量。与电流 不同，最初 是任意可变的，无法计算；所以我们将 视为独立变量， 指的是末端电压。

已知 ，利用公式(2)，我们可以计算函数 的电源电压（电流）。从 开始，不断利用适当的修正函数 直到得到 为止。

需要指出的是，电压 时复合函数 的一部分。在这种方法中，具体电源电压 和计算出的电压 之差一定为零。那么潮流公式就可以写成：

由于电压V是一个3×1复合向量，这个方程等于与馈线上总线个数无关的含6个未知量的6个方程。雅克比f可以使用迭代法和支路雅克比；对于总线K的新支路，支路雅克比 就是公式(2)中的雅克比。

   对于简单单馈线情况，我们将系统雅克比表示为：

其中，乘式的{dy}部分正好是 的前半部分，乘式的{zh1}一部分正好是 的左半部分。

一般辐射形结构

为了将这个公式推广到任意辐射形结构，我们首先要注意一下这里：如果流入每条次支路的电流都是已知的，那么任意支路的始端电压都可以作为末端电压函数来计算。对于带有位置L的系统，如果L支路没有次支路，那就可以先来计算该支路。计算完支路L之后，所有流入支路L-1的次支路电流就被确定了，这样就可以计算出支路L-1。同理也可以解除支路L-2，以此类推，最终就可以解出整个主馈线。这就是图1中所列举的反向递归法（RBF）。

为了完善每条支路上的电压不匹配计算，我们可以利用能够计算每个支路总线的两个电压。假定支路( l， )有在 l+1 处偏离总线 k 的次支路 i ，其中 i 是有序对（ l+1， ），k是三重有序对（l， ，n）。支路 i 的不匹配可以视为是 与 的不同，其中 由支路i的末端电压计算而得， 由旁支路（l， ）的末端电压计算而得。

对于从总线 k 开始的支路 i ，我们有一个类似（17）的方程，但是其中的 换成了含有所有支路末端电压的矢量 x 。

   由于会影响流入支路 i 的次支路电流，所以函数 并不取决于所有的 x 变量，而是仅仅取决于通过总线K所提供的末端总线电压。看一看雅克比行列式，图5 能更清楚的表达出这种关系来。

如果把所有的方程都放到反向递归法中，就可以得到一个新的潮流方程，如下所示：

    除了当 i 是主馈线以及 k 是电源总线时， 不再是一个常量，比如RBF中的{zh1}一个方程组。

假设可以将系统的 m支路分为实部和虚部，式子（21）就是一个含有6个未知数及6个非线性方程的方程组。同时假设所有的总线都是三绕组的，单绕组和双绕组也可以化为三绕组。

解决方法

任何一个一般非线性方程组的寻零迭代法都可以减少（21）中的负荷潮流方程。一般的牛顿法解题过程如下：

牛顿法

1.        为解题选择一个初假设 ；

2.        设 k=0 ；

3.        计算 ；

4.        当 小于等于某一误差时停止；

5.        计算雅克比 ；

6.        解 ；

7.        让 ；

8.        让 k=k+1，并回到第三步；

一般在牛顿法中，大多数计算时间都花在了步骤5 和步骤6 上。只要不增加迭代的总次数，任何符合范围的误差都可以减少这两步的计算量，从而提高计算速度。

首先，根据与支路有关的子单元，我们回想一下这个雅克比式。第 i 行第 j 列子单元就是，i 支路的不匹配电压与 j 支路末端电压的变化之间的灵敏度。按照迭代法，每个系统的雅克比子单元都可以看作是第 i 行起始总线和第 j 列末端总线之间的雅克比子式之积。

支路雅克比的数字结构

（18）中的支路雅克比 把总线 k-1 上的电压和电流系数与总线 k 上的电压和电流变量联系在了一起。对于三相绕组支路， 是一个12×12矩阵。考虑到这样的一个事实：对于实际的配电线，相对于电压大小而言，线性独立矩阵 的组成和线性带电导纳 都很小，支路雅克比可以近似的被视为等同矩阵。为了得到这个矩阵144项的每项分解，并通过分解确定哪项可以被忽略，这显然都显得过于繁琐。所以在这里我们只给出一个近似量。

在总线 k 上，一个微小的电压变化都会相应地改变负载、旁路、发电机组电流、以及支路 k 上的串联电流。然而，电流等于导线的小阻抗 之积，这样就可以忽略总线 k-1上的电压变化。所以，从（9）中可以看到，如果忽略二次效应，在总线 k 上的电压变化就会在总线 k-1中产生几乎相同的电压变化。这就是（18）中的 的左上角。同样，电流 的微小变化也只会影响电流 ；如果 的右上角近似为0，那么就可以忽略电压 。通过小 我们可以得到： 或者 的微小变化并不会影响方程（10）中的{dy}项，也就是（18）中 的底下两项。

支路雅克比近似等效是这样的：将负载、旁路电容和发电机组用恒定流过电流所替代，而且要忽略导线充电和电线阻抗。分段开关也可以使用同样的近似。对于变压器部分， 的左上角可以近似地将等效值除以分流系数。也就是说，变压器可以近似地理想等效。一定要注意到这里：近似等效只是为了简化牛顿法中用于修正步骤的雅克比式子；它们对最终结果没有任何影响，仍然是基于“系统模型”部分的具体模型。

系统雅克比的数字结构

考虑到支路雅克比的数字结构，我们通过迭代法建立系统雅克比。这就带来了一种取决于支路RBF的特殊结构，如图5所示，图5 是来自图1 的系统例子。

分解法

由于对角线以下的非零元素近似为0，我们就可以忽略它们。这样我们就必须得指出：支路 i 的不匹配仅仅影响支路 i 及其上一条支路的末端电压。

这种近似替代大大加快了牛顿法中第6 步的修正步骤。现在，矩阵元素进一步减少，但最重要的是：可以通过back-substitution解决上三角和修正步骤。

P-Q分解法

在P-Q分解法中，步骤5 中的雅克比方程仍然很复杂，而且相当不切实际。可以这样进一步近似：将近似等效换成xx等效矩阵，将负的近似等效换成负的xx等效。xx等效就是将支路部分除以合适的分流系数，变压器也是如此。

这里的“雅克比”现在是一个与上面所提到的支路雅克比近似等效相关的常量上三角矩阵。这就是说，步骤5 就可以被忽略，步骤6 就是一个简单的备用。事实上，由于每行对角线上有一个“1”和每列有一个与上一支路绕组相关的“-1”，那么这个形式就没有那么必要了。

结果

上面所描述的P-Q分解法可以在Matlab4中与传统的牛顿法[4]、高斯消去法[5]以及前后扫描法[9]一起使用。高斯消去法实际上使用的是最有排列的 因子，而不是xx的 形式。

这里所用到的测试系统是292总线和394 总线的不平衡系统，其中每个都带有6个配电变压器。根据我们的公式，{dy}个系统总共有85条支路，第二个系统总共有108条支路；而且每条支路既可以是单绕组支路又可以是双绕组支路。除了前推回推法，其它三种方法都得用到大型稀疏系统的线性方程解法。在牛顿法和P-Q分解法中得到的是雅克比矩阵；在高斯消去法中得到的是总线导纳 。表II 给出了两个测试系统矩阵的大小和种类。如果所有的总线都是三绕组的，那么我们希望牛顿法的维数近似为6n，高斯消去法的维数近似为3n，P-Q分解法则为6l；其中，n是总线个数，l是支路个数。相比之下，那些单绕组和双绕组总线的维数会略小一点。值得注意的是：P-Q分解法中的矩阵是已化成因子形式的三角形矩阵。与前两种方法不同，这里所提出的算法并不用 公式，也不用大型矩阵的因式形式。

就394总线系统而言，从传统牛顿公式的1966到P-Q分解法的560，都减少了实际方程和未知量的个数，以及雅克比模值的大小。雅克比模值的减小会相应地进一步减小需要从电压降开始的负载潮流计算。图6 给出了四种算法在Megaflops上的计算复杂度。这些数字都是基于从Matlab中得到的浮点计算数，而且还可以表示用C或者Fotran语言编译的算法运算时间。

从得到的结果可以看出，P-Q分解法甚至要比[9]中前推回推法所用的时间更少。在计算中，末端电压一定要用时间差来修正。对于前推回推法，在每条支路上都需要一个计算电压降的xx向前扫描。在P-Q分解法中，只需要在三角形雅克比矩阵中直接计算就可以了。由于这里所提算法的函数计算与向后扫描相同，所以我们希望，每次迭代都可以减少计算量。

如图7 所示，在我们的测试系统中，牛顿法如期证明了二次收敛，而其它三种方法线性相似。

结论和后续工作

这篇论文中，我们利用辐射形结构（物理特征）和分解配电系统的数字特征，得到了快速分解牛顿法，从而来解决不平衡配电网的负荷潮流。在配电网中，这就可以减少与支路数成正比而与总线数成反比的方程组和未知量的个数。由于方程个数的减少，以及雅克比矩阵可近似地等效成常量三角形矩阵，这远远快于高斯消去法和基于 的传统牛顿法。由于每个函数计算都需要修正电压和电流，而且雅克比矩阵是一个三角形矩阵，所以每次迭代中的计算都与n 成正比；这适用于所有的大型辐射性系统。由于在末端嗲呀修正上节省了时间，这也表明它比[9]中前推回推法更省时。

这篇文章中所提出的负荷潮流计算法可能会有几种进一步的延伸。正如文中所述，他xx于含有将电源视为单电压总线的辐射性系统。作者认为，该方法可以做一下推广：通过用与[10,12,14]相似的补偿方法来粗略处理网状型系统。这些系统都基于此：通过选择合适断点将系统转化成辐射性结构。这时，可以通过使用辐射形系统的负荷潮流算法以及断电电流和功率补偿来解该电网。这些方法还可以用于PV总线；PV总线可以看作是人为断点，也适用于输电系统的弱电网。由于[10，12，14]中的方法是基于前后扫描，所以通过建立以文中提到的P-Q分解法为基础的辐射形网络，就有延伸的可能性。

当然该公式也可以扩展到其他连接类型的配电变压器，不如[15]中提到的剩余部分。

致谢

作者要感谢Cary Darling，感谢纽约电气的财政支持。{zh1}十分感谢董建忠博士的文字输入。

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Ray D. Zimmerman received his B.S. in electrical engineering in 1989 from Drexel University, Philadelphia, PA, and his M.S. in electrical engineering in 1992 from Cornell University, Ithaca, NY. He is currently working toward a Ph.D. in electrical engineering at Cornell.

Hsiao-Dong Chiang received the Ph.D. degree in electrical engineering and computer sciences from the University of California at Berkeley. He is currently an Associate Professor of electrical engineering at Cornell University. He was a recipient of the Engineering Research Initiation Award (1988) and of the Presidential Young Investigator Award (1989) both from the National Science Foundation. In 1990 he was selected by a Cornell Merrill Presidential Scholar as the faculty member who had the most positive influence on that student’s education at Cornell. He was an Associate Editor of the IEEE Transactions on Circuits and Systems (1990-1991). He is currently Editor for express letters of the IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. His research interests include power systems, nonlinear systems, optimization theory and neural networks.