多轴加工数控程序刀具补偿算法
I、 前言
近代航空零件及模具的几何形状设计日趋复杂，且产品精度与生产效率要求也不断地提升，而五轴工具机可提供两个额外的旋转自由度，使刀具以不同的角度进刀，提供制造上的重要优势，因此，也已逐渐广泛地应用于工业界。
五轴加工程序与刀具设定有密切的关系，一旦刀径设计尺寸或刀长改变时，原程序便不能使用，尤其是刀具在加工的过程会有磨耗现象而造成尺寸变异，因此，在程序的使用便有很大的限制。就数值控制加工而言，每当刀具几何外形选用有变动时，应重新产生刀具路径档案，再经由后处理程序转换为实际加工的NC程序，而加工时所造成的刀具磨耗问题，也可视为刀具几何改变(刀径变小)，透过上述方法得到正确的加工程序。但是，这样会造成程序维护不易，相对地生产效率便无法提高，若考虑更换新刀具加工，则又会有增加备用刀具成本之缺点。
以平面轮廓两轴半的加工而言，常使用G41/G42码来补正刀具半径，此利用一般较低阶的控制器便可完成，但若要应用到三度空间刀具补偿的功能，则须有较高阶的控制器提供以向量模式来补偿，如FANUC
15-MA (FANUC，1994)，CINCINNATI MILACRON ACRAMATIC 950
(CINCINNATI，1990)等，但目前已知的研究则尚未有针对此功能作进一步的发表。另一方面，以市面上贩售的泛用型后处理而言，如IntelliPost
(IntelliPost，1994)，仅有提供二度空间刀具向量补偿的格式，但对于三度空间的刀具向量补偿模式则不提供，目前仅有贩售五轴工具机的原厂商，如CINCINNATI,
新日本工机株式会社(Shin Nippon Koki,
SNK)'''等，对于其个别型五轴工具机专用后处理程序，才有提供这种多轴三度空间刀具向量补偿的模式输出，但其价格甚为昂贵，因此有必要对这方面的学理作进一步的探讨与突破。
II、 研究方法
2.1 研究流程
当刀具尺寸有所变更时，若欲得到正确的加工曲面，则刀具中心必须做适当的偏移，例如刀具尺寸较小时，必须向内偏移，反之刀具较大时，则应向外偏移，而偏移量是以实际使用的刀具尺寸减去正确刀具尺寸的差值，以向量模式来补偿，这种补偿的模式，在高阶的控制器均有提供，以FANUC控制器而言是用I
J K码来表示，而CINCINNATI则是用P O R码来表示。
在进行三度空间之刀具向量补偿前，必须先建立二度空间刀具向量补偿之数学模式，本文作者已有相关研究发表(畲振华、陈正堂，2000)，但这仅适用于刀具轴向固定的情况。对于多轴加工而言，因刀具轴在每个移动的单节中都是变动的，因此，必须推导一般化的三度空间刀具补偿模式。本文将使用投影的方法，由三维空间上的三点沿着中间点的法向量，投影至和法向量相互垂直的平面，也就是以其平面所代表的坐标表示，然后利用刀具路径偏移的方法(OFFSET)以求出二度空间刀具补偿向量，之后再将其反运算，使三点的坐标以地表坐标表示，如此便可求出最终的三度空间刀具补偿向量。
其次，本文将发展出一套后处理系统，可读取泛用型CAD/CAM产生的刀具路径档案(cutter
location file,
CLF)，转换为具有刀具补偿向量的NC程序，{zh1}，再以实体仿真切削软件(VERICUT，2001)，验证所转换的NC程序之正确性，本文之研究流程如图一所示。
图一 研究流程图
2.2 多轴刀具误差补偿向量演算数学推导
吾人先在刀具路径档案中选出三个点的分别为P1P2P3，之后以
点坐标与其法向量定义出一平面，再将P1P2P3三点沿着
的法向量投影至该平面为P'1P'2P'3三点，如图二所示，之后三点再根据刀具路径档案中CUTCOM指令中下LEFT或RIGHT的指令，做向左或向右偏移一个单位，如图二及图三所示为偏移之后为P"1P"2p"3三点坐标。
图二 刀具路径三点投影至一平面示意图
图三 刀具路径三点投影偏移(offset)示意图
在刀具路径中，假设第二点的法向量为ax、ay、az，与任意选择其相互垂直的两个向量，分别是nx、ny、nz和ox、oy、oz
，而该三向量构成的坐标系，而且该坐标系定义的平面必须通过P2点，该坐标系与地表坐标系的距离为Px、Py、Pz。
其中三个相互垂直向量可表示为
三向量所形成的坐标系与BASE坐标的齐次坐标转矩阵T可表示为(4)式
根据向量纯量积(scalar product)(或称点乘积(dot
product))的表示方式如(5)、(6)和(7)所示。
根据向量正交法则，若两向量的夹角为90°时，即两向量的点积为零即Cosθ=0
代入(5)、(6)和(7)式中，可得
因此，可得到：
假设nx=az代入(8)式中得知
根据单位向量的特性可知，单位向量为一大小等于1个单位之自由向量，所以
根据(11)与(12)两式可以得知
代入(11)式中，可知
(16)
另一方面，根据向量外积可以得知
之后本文验证三向量透过向量内积为零的法则，得知三向量的点积为零果然相互垂直，所以本文假设nx=az可以成立。
定义刀具路径档案中选择三个点分别是P1、P2、P3其坐标值分别表示为
(21)
(22)
(23)
根据(22)式所示，本文定义
其中x1、y1、z1、x2、y2、z2、x3、y3、z3分别代表P1、P2、P3
三点坐标在以BASE坐标系来表示的X、Y、Z轴的分量。P1、P2、P3三点坐标投影至由P2之坐标值Px、Py、Pz与其法向量ax、ay、az，与任意选择其相互垂直的两个向量，分别是nx、ny、nz和ox、oy、oz
所构成的平面。
三点P1、P2、P3投影至该平面之后为P'1、P'2、P'3，而这三点因为投影之同一平面上所以Z值相同，再根据刀具路径档案中CUTCOM指令下的是偏左(LEFT)或偏右(RIGHT)，假设来做向右偏移一个单位，可以将三点代入(30)、(31)二式中求得偏移后在该平面所定义的坐标系之x、y值如下(畲振华、陈正堂，2000)：
因此，可得P"1、P"2、P"3三点的坐标分别是
P"1、P"2、P"3三点反投影可根据之前第二个点的法向量投影至原本的BASE坐标系而得到三点P'"1、P'"2、P"'3的坐标值：
III、 结果与讨论
3.1后处理程序转换
本文根据所推导的补偿向量，发展出一套后处理转换程序，可自动产生所需的五轴数值控制程序。在程序判读刀具路径档案中，GOTO内的资料是三轴或五轴，若是三轴则转换出来的刀具补偿码只有P、O码，反之若是五轴时则转换出来的刀具补偿码具有POR码。
本系统设定三种常用的刀具路径档案，分别是NCL程序原始码及SurfCAM与CATIA二种商用CAD/CAM系统产生的刀具路径格式来转换为具有POR的NC程序，如表一
~
表三为其格式之范例，其中NCL格式使用〝＄＄〞来做刀具路径档案中的批注，SurfCAM的刀具路径档案中，使用〝＄〞来表示下一行与本行是同一行指令，而CATIA的刀具路径档案中，使用〝PT〞来表示接着是本行的行号数。
表一 NCL格式刀具路径档案
表二 SurfCAM所产生的刀具路径档案格式
表三 CATIA 所产生的刀具路径档案格式
基本上，上述的三种刀具路径档案格式不尽相同，因此，为了要使转换更有弹性及效率，本文发展出泛用型后处理程序，来转换这三种格式的刀具路径档案，其结果如表四～表六所示，由表中的结果显示转换后的多轴数控程序含有所需的刀径补偿向量值(POR)。
表四 NCL档案经本文后处理转换后之NC程序
表五
SurfCAM刀具路径档案经本文后处理转换后之NC程序
表六
CATIA刀具路径档案经本文后处理转换后之NC程序
3.2 虚拟工具机实体仿真切削验证
为了要验证本文所转换的NC程序代码，因此，吾人设计了一个加工工件，如图四所示，经由商用软件EdgeCAM产生加工所需的刀具路径档案
(表七)，再透过本文所发展之后处理程序转换为具有POR的刀具补偿码的NC程序(表八)。其次，吾人将转换后之数控程序输入商用实体切削仿真软件VERICUT进行加工仿真，其仿真结果如图五所示，而切削后工件之尺寸可以藉由VERICUT的剖面功能(section)进行实体剖面，然后再以Export
Model功能转换成IGES档案，经由EdgeCAM读入后，可以检测切削工件的尺寸为79.988826mm
(图六)，此可与图四中的相关尺寸80mm进行比对验证，同时，也可证实本文所建立的刀具补偿向量算法之正确性。
图四 工件外型尺寸图
图五 VERICUT仿真切削
图六 工件剖面后之量测尺寸
表七 EdgeCAM所产生的刀具路经档案
表八 本文发展的后处理程序所转换出的NC程序
IV、结论
利用刀具路径偏移之原理，建立多轴加工刀具补偿向量之解析模式，并发展为一套后处理系统，可将泛用型CAD/CAM软件所产生的刀具路径档案转换为具有刀具补偿向量的NC程序，此种模式的数控程序将有助于实际加工时，因刀具磨耗所必须的刀具半径值，如此，便可免除大量备刀之不便，以节省刀具成本。
