昨天花了一个晚上为《编程之美》，在豆瓣写了一篇书评。书评就不转载到这里了，取而代之，在这里介绍书里其中一条问题的另一个解法。这个解法比较简短易读及降低了空间复杂度，或者可以说觉得比较「美」吧。
如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。
书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。
计算一个二叉树的{zd0}距离有两个情况:
- 情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。
- 情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的{zd0}距离路径，取其大者。
只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的{zd0}距离。
我也想不到更好的分析方法。
但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从下载):
// 数据结构定义
struct NODE
{
NODE* pLeft; // 左子树
NODE* pRight; // 右子树
int nMaxLeft; // 左子树中的最长距离
int nMaxRight; // 右子树中的最长距离
char chValue; // 该节点的值
};
int nMaxLen = 0;
// 寻找树中最长的两段距离
void FindMaxLen(NODE* pRoot)
{
// 遍历到叶子节点，返回
if(pRoot == NULL)
{
return;
}
// 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0
if(pRoot -> pLeft == NULL)
{
pRoot -> nMaxLeft = 0;
}
// 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0
if(pRoot -> pRight == NULL)
{
pRoot -> nMaxRight = 0;
}
// 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离
if(pRoot -> pLeft != NULL)
{
FindMaxLen(pRoot -> pLeft);
}
// 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离
if(pRoot -> pRight != NULL)
{
FindMaxLen(pRoot -> pRight);
}
// 计算左子树最长节点距离
if(pRoot -> pLeft != NULL)
{
int nTempMax = 0;
if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)
{
nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;
}
else
{
nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;
}
pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;
}
// 计算右子树最长节点距离
if(pRoot -> pRight != NULL)
{
int nTempMax = 0;
if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)
{
nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;
}
else
{
nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;
}
pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;
}
// 更新最长距离
if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)
{
nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;
}
}
这段代码有几个缺点:
- 算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
- 使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数
- 逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。
我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的{zd0}深度，B 需要子树的{zd0}距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:
#include <iostream>
using namespace std;
struct NODE
{
NODE *pLeft;
NODE *pRight;
};
struct RESULT
{
int nMaxDistance;
int nMaxDepth;
};
RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
{
if (!root)
{
RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
return empty;
}
RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
RESULT result;
result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
return result;
}
计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的{zd0}值。
为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成{zd0}深度为 0。
除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的{zd0}深度) 大小的栈空间。这个设计使函数xx没有副作用(side effect)。
以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):
void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
{
if (left != -1)
nodes[parent].pLeft = &nodes[left];
if (right != -1)
nodes[parent].pRight = &nodes[right];
}
void main()
{
// P. 241 Graph 3-12
NODE test1[9] = { 0 };
Link(test1, 0, 1, 2);
Link(test1, 1, 3, 4);
Link(test1, 2, 5, 6);
Link(test1, 3, 7, -1);
Link(test1, 5, -1, 8);
cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-13 left
NODE test2[4] = { 0 };
Link(test2, 0, 1, 2);
Link(test2, 1, 3, -1);
cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-13 right
NODE test3[9] = { 0 };
Link(test3, 0, -1, 1);
Link(test3, 1, 2, 3);
Link(test3, 2, 4, -1);
Link(test3, 3, 5, 6);
Link(test3, 4, 7, -1);
Link(test3, 5, -1, 8);
cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-14
// Same as Graph 3-2, not test
// P. 243 Graph 3-15
NODE test4[9] = { 0 };
Link(test4, 0, 1, 2);
Link(test4, 1, 3, 4);
Link(test4, 3, 5, 6);
Link(test4, 5, 7, -1);
Link(test4, 6, -1, 8);
cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
}
你想到更好的解法吗?
2010-02-25 06:30
Milo又熬夜啦.......2010-02-25 08:56
第 19~21 行有线程安全问题：static const RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
if (!root)
return empty;
建议改为：
if (!root) {
RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
return empty;
// trust compiler, POD data will be optimized well.
}
因为按标准，function static variable 只在函数{dy}次调用时初始化，这个的初始化只有在{zx1}的编译器里才是线程安全的。
在旧的编译器（GCC 3 及以前）上，原来的写法可能会读到 partial initialized 'empty' 变量，如果两个线程同时（首次）调用 GetMaximumDistance 的话。
2010-02-25 09:12
这不就是求树的直径的问题吗？树的直径最简单的解法(无论是几叉)：
从任意一点i一次BFS找到树中与他距离最远的点j，从j再一次BFS找到树中里j最远的点k,那么D[j][k](j与k的距离)即为答案。
稍微好理解的方法：树形动态规划
2010-02-25 10:07
陈硕如果非要考虑多线程安全，我倾向于用“全局变量”来表示这些常用的常量，就和向量，矩阵类中一些单元向量，单元矩阵等。
2010-02-25 10:46
我觉得直接把递归语意翻译过来最直接和清晰吧：type BinaryTree = | Node of BinaryTree * BinaryTree | Empty let rec height (tree: BinaryTree) = match tree with | Empty -> 0 | Node (l, r) -> 1 + max (height l) (height r) let rec calculate (tree: BinaryTree) = match tree with | Empty -> 0 | Node (l, r) -> (height l) + (height r) |> max (calculate l) |> max (calculate r)这里我用了F#，不过C#，C++其实也是一回事情吧。
2010-02-25 12:11
秋醒半梦时进行两次BFS：先从树根A出发进行广度优先搜索(BFS)，找到最远的结点B，然后再从结点B出BFS，找到离B最远的结点C，BC就是{zd0}距离。
下面是正确性证明
假设存在结点X和Y，它们的距离是所有结点中{zd0}的；分两种情况讨论：
1. 若路径XY与路径AB有交点O，
...A
...|
X-O--Y
...|
...B
由于|OB| >= |OX|且|OB| >= |OY|，所以，|BX| >= |XY|，|BY| >= |XY|。即从B出发可以构造出最长路径。
2.若路径XY与路径AB无交点，
A...B X...Y
A是树根，XY与B分属不同的子树，假设XY的最近祖先为O，由于
|AB| >= |AO| + |AX|，所以|BY| = |AB| + |AO| + |OY| > |XY|。即从B出发构造出长于XY的路径，与假设XY是最长路径矛盾。
[楼主] 2010-02-25 12:19
Dbger@陈硕
我覺得兩個方法都可以解決潛在的多線程問題。我現在先相信compiler，改用了陳碩的寫法。
從另一個角度看這個問題，local static variable是會做成side effect，所以 thread-safe 會不成立。
[楼主] 2010-02-25 12:40
Jeffrey Zhao我未學過任何一個 functional programming 語言。希望趙大能指正不對的地方。
用 FP 的確可以增加可讀性，同時能減少錯誤的機會。
FP 能對 pure function 用自動的 cache optimization，這是優點也是缺點。如果沒有這優化，在你提供的代碼中，height 的調用次數估計是 O(n^2)；而有了這優化，就需要O(n)的空間去儲存n 個 height()的運算結果。而這優化我估計應該需要做 table lookup，帶來額外 overhead。
我的嘗試中，並不需要O(n)的額外空間，而且仍維持每節點只遍歷一次。
又反過來說，在效能上，FP 的好處是可以自動做並行，用 procedural 語言手動做這個就會顯得複雜。
[楼主] 2010-02-25 13:09
Todd Wei@秋醒半梦时
多謝你們的回應，我方知道這個「距離」應該是叫「直徑」(Tree Diameter)。
這該我找到一點參考文章:
發現前一篇文章基本上和Jeffrey的嘗試一樣，但用 procedural programming 會有O(N^2)的 height() 調用。我覺得我寫的邊界條件(那個trick)可能不需要，今晚回家試試。
第二篇談到的幾個詞彙我都不太認識，可能要再多看一些參考。也想請教，用 BFS 的方法會比現時的方法簡單或高效麼? 還是現時的方法實際上有錯誤?
2010-02-25 13:20
Milo YipBFS是O(N)的，所以复杂度更低。特别是基于BFS的方法不局限于2叉树，而前面递归方法在多叉树情况下复杂度会更高。
2010-02-25 13:23
Milo Yip其实你的算法还是用了O(h)的空间啦，h是高度，（非尾）递归算法嘛，栈空间是省不了的。
的确这里height会反复调用，所以如果必要的话，还是要做memorization的。
作了momorization以后，时间和空间“复杂度”和你的过程式算法是一致的了。
[楼主] 2010-02-25 13:31
Jeffrey Zhao本文也提及，我的嘗試用了O(h)的棧空間代替原文的O(n) intrusive data，而你寫的height函數的memorization空間是O(n)。因為 h <= n，O(h)應該是比 O(n)好吧。
[楼主] 2010-02-25 13:36
我的嘗試也是O(N)，而且只需遍歷一次。跟據你的描述，BFS要做兩次，而且要加入parent? 不過對於一般的多叉樹，可能BFS的方法是{zh0}的方法。
2010-02-25 15:09
Milo Yip哦，是的，你的递归也是O(N)，开始分析错了。
树哪个结点作为parent没关系，任选即可。图论里面对树的一种定义方式是：具有n个结点和n+1条边的连通图。
2010-02-25 16:06
Milo Yip>>我方知道這個「距離」應該是叫「直徑」(Tree Diameter)。
的确是“直径”——在数学中直径的定义是：一个距离空间中任意两点间距离的上确界(supremum)。
2010-02-25 17:03
我所了解的树的定义是：一个无环的无向图
[楼主] 2010-02-25 17:04
郑晖謝謝鄭老師的數學指導。在網上找到了關於這個的定義:
2010-02-25 17:17
上面对的直径定义尚不足够general，它只提到了欧氏空间（Euclidean space R^n ），
实际可扩展到更广泛的距离空间（metric space）。事实上，你这里提到的树就不是欧氏空间（因为这里的距离并非欧氏距离）。
[楼主] 2010-02-25 17:27
郑晖是的，我理解只要是 metric 就可以定義 diameter。