方阵的特征值与特征向量：

定义：设A为n阶方阵若存在数λ和n维非零列向量x使Ax=λx成立，则称数λ为方阵A的特征值，称非零列向量x为A的对应于特征值λ的特征向量。

求法：一般地，称f(λ)=|λE-A|为方阵A的特征多项式，f(λ)=0为方阵A的特征方程。

步骤：

①计算特征多项式f(λ)=|λE-A|

②求特征方程f(λ)=0的全部根λ1、λ2……λn

③对每一个特征值λi(i=1,2,……n)求解方程组(λiE-A)x=0，得到基础解系εi1,εi2……ε(in-ri)，则A对应特征值λi的全部特征向量为k1εi1+k2εi2+……+k(n=ri)ε(in=ri)，其中k1、k2……k(n-ri)是不全为零的实数。

性质：设n阶梯形方阵A=(aij)有n个特征值λ1，λ2，……λn，则：

①λ1+λ2+……+λn=a11+a22+……+ann②|A|=λ1λ2……λn

n阶方阵A的主对角线元素之和称为A迹，记为tr(A)，即tr(A)=a11+a22+……+ann=λ1+λ2+……+λn。

推论：n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值都不为零。

定理：若λ1，λ2……λm是n阶方阵A的不同的特征值，P1，P2……Pm依次是与之对应的特征向量，则P1，P2……Pm线性无关。

定理：设λ1，λ2……λs(s≤n)是n阶方阵A的不同特征值，而Pi1,Pi2……Piri(i=1,2,……s)是A的对应于特征值λi的ri个线性无关的特征向量，则向量组P1……1P1r1,P21……P2r2……Ps1……Psrs也线性无关。

实对称的特征值与特征向量的性质：

①实对称阵的特征值都是实数。

②实对称阵的对应于不同特征值的特征向量必正交。

③对应于实对称阵A的ri重特征值λi一定有ri个线性无关的特征向量，即方程组（λiE-A)x=0的每个基础解系恰好含有ri个向量。

相似矩阵概念及性质：

定义：设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P使B=P逆AP，则称A与B相似，A→B为相似变换，P为相似变换矩阵。

若A与对角阵∧相似，则称A可以相似对角化。

定理：若n阶方阵A与B相似，则有

①A与B的特征多项式相同，即|λE-A|=|λE-B|，从而A和B的特征值相同。

②R(A)=R(B) tr(A)=tr(B) |A|=|B|

③A的k次幂与B的k次幂相似（k为任意非负整数）。

推论：若n阶方阵A与对角阵A=diag(λ1,λ2,……,λn)相似，则λ1，λ2……λn是A的特征值。

定理：n阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A必相似于对角阵。

定理：设A为n阶实对称矩阵则一定能找到一个正交矩阵P，使P(逆)AP为对角阵。