让我们先从一个流传得很广的故事说起吧：

　　相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的{dy}个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前。

　　计数麦粒的工作开始了。{dy}格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法xx他对宰相许下的诺言！

　　这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：

　　1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒。

　　这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！

　　如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。

　　国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还xxx。

　　这个故事是我们大家都相当熟悉的。至于国王是如何解决这个难题的，知道的人可能不会多吧？等会儿在下会在本文的末尾予以详细说明，在这里……就先卖个关子好了！

　　这位宰相所要求的麦粒数已经是很大的了，但我们还能把它写下来，然而，我们平时也会遇到一些无穷大的数，那可就不是我们能写下来的了。比如，“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”显然都是无穷大的。

　　现在有一个近乎可笑的问题：在下刚才所提到的两个无穷大数，哪一个更大些？

　　也许您会笑：这还能比吗？数都数不清，如何比较？

　　或者说：既然都是无穷大数，那就应该是一样大吧。

　　但是，且慢下这样的结论啊，还是让我们来比较一番好了。至于比较的方法……请跟随在下走进非洲的原始部落，那里的土著居民会告诉我们答案的（请不要觉得不可思议，这可是真的！）。

　　不少探险家证实，在某些原始部落里，并不存在比三大的数词。如果问他们当中的一个人有几个儿子，或杀死过多少敌人，要是这个数字大于三，他就会回答：“许多个。”如果一个原始部落人想弄清自己的财物中，到底是铜币多，还是玻璃珠子多，他该怎么办？对于他来说，这两个数目可都是“许多个”啊！难道他会因为数不清数目而放弃比较？根本不会。如果他足够聪明，他就会将铜币和珠子一一配对，若是{zh1}铜币用完了，珠子还有剩余，那珠子的数目就比铜币多；反之，若是珠子用完了，铜币还有剩余，他就会知道铜币比较多。当然，如果同时用完，那铜币和珠子的数目就相等。

　　我们也可以采取同样的方法来比较无穷大数的大小（因为对于我们来说，这些无穷大数就和原始部落人的铜币或珠子一样，都是数不清的啊！^O^），由于这种比较的方法是数学家康托尔最早采用的，因此它又被称为康托尔法则。我们先从简单的开始好了：所有的奇数和所有的偶数，哪个多呢？当然从直觉上，您会认为它们是相等的，事实也是如此。下面就是奇数与偶数的比较：

　　1-->23-->45-->67-->89-->10…………

　　…………

　　但是，且慢，所有的自然数（包括奇数和偶数）和单单偶数的个数相比，哪个多呢？您可能会说，当然是自然数多，因为自然数还包括奇数啊！那么，我们就来比较一下吧。事实上，自然数与偶数之间是可以建立一一对应的关系的：

　　1-->22-->43-->64-->85-->10…………

　　…………

　　我们不得不承认，自然数和偶数的数目是相等的，尽管这个结论看上去十分荒谬。但在无穷大的世界里，部分却可能等于全部！这是一个事实。

　　那所有的分数（即有理数）与整数的关系又如何呢？您可以照这样的法则写下所有的分数：先写下分子分母之和为2的分数：1/1；接着是分子分母之和为3的：1/2，2/1；然后是分子分母之和为4的：1/3，2/2，3/1；……这样一直写下去，{zh1}把整数数列写在旁边就可以了。如此一来，我们就很容易地建立了分数与整数的一一对应关系，当然它们的个数也是相等的。

　　您也许会说，是啊，它们都相等，那是不是所有的无穷大数的数目都相等呢？如果是这样，那这种比较还有什么意义呢？

　　让我们回到在下一开始提出的那个问题吧：“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”相比，哪个更多些？

　　我们知道，一条线上所有的点是由实数构成的，包括有理数和无理数。但是，我们不可能像刚才写下所有的有理数那样，写下所有的无理数，因此，实数与整数间的一一对应关系就建立不起来了。我们只能将有理数和整数一一配对，剩下的是无理数，所以，“一条线上所有几何点的个数”比“所有整数的个数”要多。

　　本文到此为止……什么？您说还没完？对了……国际象棋的问题还没有解决。哎呀，国王的处理方法很简单，他忍受不了宰相成天没完没了的xx，就干脆下令砍掉宰相的头……抱歉，在下又在胡说八道了。那个故事的后半段如下：

　　正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。

　　西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，{zh1}宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子^O^）。

　　这个问题……就这么简单！

　　现在有一个近乎可笑的问题：在下刚才所提到的两个无穷大数，哪一个更大些？

　　也许您会笑：这还能比吗？数都数不清，如何比较？

　　但是，且慢下这样的结论啊，还是让我们来比较一番好了。

　　比较的方法很简单：如果我们不能数数，怎么比较一堆东西和另一堆东西的多少？

　　很自然的，我们会从{dy}堆中拿一个，和第二堆中的一个放在一起；然后重复上面的动作，如果{dy}堆的东西先没了，那就是第二堆多；如果是第二堆东西先没了，那就是{dy}堆多。

　　无穷大数的比较就是用这种办法比较的，比如：要比较整数和偶数哪个多，我们就会列出下面的对应关系

　　……

　　1——2

　　2——4

　　3——6

　　……

　　这样下去，所有的整数就和所有的偶数一一对应上了，这意味着所有的整数和所有的偶数一样多！

　　那所有的分数（即有理数）与整数的关系又如何呢？您可以照这样的法则写下所有的分数：先写下分子分母之和为2的分数：1/1；接着是分子分母之和为3的：1/2，2/1；然后是分子分母之和为4的：1/3，2/2，3/1；……这样一直写下去，{zh1}把整数数列写在旁边就可以了。如此一来，我们就很容易地建立了分数与整数的一一对应关系，当然它们的个数也是相等的。

　　这有点骇人听闻，但是，我们是在研究无穷大数，自然有些不寻常。

　　可是，这是不是意味着所有的无穷大数都相等呢？

　　不是，比如说：“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”那个多？

　　我们知道，一条线上所有的点是由构成的，包括有理数和无理数。但是，我们不可能像刚才写下所有的有理数那样，写下所有的无理数，因此，实数与整数间的一一对应关系就建立不起来了。我们只能将有理数和整数一一配对，剩下的是无理数，所以，“一条线上所有几何点的个数”比“所有整数的个数”要多。

　　通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段AB上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数（图7）。

　　假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按奇分位和偶分位分开，组成两个不同的小数：

　　0.7108......

　　和

　　0.5236......

　　以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由0.4835，0.9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的相应的“对偶点”0.49893057。

　　很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点数的无穷大数相等。

　　用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方体内点数的多少与它们的大小无关。

　　尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第二级无穷数列。

　　并不是所有无穷大都相等，它们甚至可以比较大小：

　　零级无穷大：所有整数的数量

　　一级无穷大：所有小数的数量（等于上面提及的线上所有的点数、面上所有的点数、立体上所有的点数）

　　二级无穷大：在一张纸上随意地画线条，所有可能画出的线条数目（曲线样式的数目）

　　零级无穷大<一级无穷大<二级无穷大

　　{zd0}的无穷大是多大呢？答案是没有尽头。

　　可以证明，任何一个集合的所有子集所形成的集合的大小比原集合大。事实上，[0,1）上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应，把这些实数写成2近制。小数点后第n位为1，对应n不在子集中，为0对应不在子集中，这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应，因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的所有子集有一一对应关系。我们把前面说所曲线看成一个集合，他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去，得到越来越大的无穷大。

　　另外还有一个问题，整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说，是否存在比整数的无穷大大，而比实数的无穷大小的无穷大。至今没有证明。或者，有人证明这依赖于一些并不显而易见的其他公理或者说假设。也有人就把不存在这样的无穷大作为一个公理。

例子： 
阿列夫0：自然数、有理数的个数 
阿列夫1：空间点集 
阿列夫2：空间曲线集