关于法线变换矩阵的思考。

1，法线变换与顶点变换一致吗？

        看到很多demo上都是将法线与顶点乘以同一个矩阵进行变换，于是自己也就一直这么做。 最近重新温习渲染管线，发现原来两者的变换矩阵是不一样的（都是不求甚解惹得祸）。法线变换矩阵与顶点变换矩阵的关系推导如下：

（参考）

考虑平面 n = [a, b, c, d] ，该平面任一点p = [x, y, z, 1] 满足下面条件：

n^t p = ax + by + cz + d = 0

如果将整个空间进行R矩阵变换，显然点p的变换矩阵为R。设平面n的变换矩阵为Q，则有变换过后的点p1 及变换过后的平面n1 ：

p1 = R p             n1 = Q n

显然，两者同样满足： n1^t p1 = 0   => (Q n)^t (R p) = 0 =>   n^t Q^t R p = 0

如果Q^t R = I （单位矩阵）则有 n^t Q^t R p = n^t I p = n^t p = 0。故 有：

Q^t R = I   => Q^t = R^-1 => Q = (R^-1)^t

也就是说向量变换矩阵，是对应顶点变换矩阵的逆再转置。

2，那些demo错了吗？

        话又说回来，难道平时看的那些demo都写错了？可是感觉两者效果也没啥差别啊。为了进行统一光照运算，我们需要将模型空间的法向量变换到世界空间或者摄像机空间。而这一系列的变换都可以分解为位移、缩放和旋转变换。 其实只要没有非等比例的缩放变换，法线变换与顶点变换的矩阵是相同的。

1，位移变换矩阵T 不影响法线，因为法线的w分量为0。想想也明白，法线与具体位置是无关的。

2，旋转变换矩阵R 是正交矩阵。也就有旋转矩阵的逆等于其转置R^t=R^-1。

3，缩放矩阵S 是一个对角矩阵。若进行等比例缩放，不影响法线方向。

设顶点变换矩阵 G = S*R*T.

则有对应法线变换矩阵K = (G^-1)^t = ( (S*R*T) ^-1)^t

由于T 不影响法线,故，K = ( (S*R) ^-1)^t = ( R ^-1 * S^-1)^t = (S^-1)^t *(R^-1)^t

又有 R^t=R^-1 ，所以 K = (S^-1)^t *(R^t)^t = (S^-1)^t *R = (S^t )^-1*R = S^-1*R

若S为等比例缩放 则K == R == S*R*T == G。

也就是说 若为等比例缩放变换，则法线变换矩阵等价于顶点变换矩阵。

所以平时，我们只要在模型空间到世界空间不进行非等比例的拉伸，就可以直接统一用一个变换矩阵了。