其中，系数a[i,j]和常数bi是已知数，xi是未知数。当bi=0时，我们称上面的方程组为齐次线性方程组；当bi不全等于0时，我们称其为非齐次线性方程组。
对于一个非齐次线性方程组，我们可以将其用矩阵表示
A为方程的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。
我们将A、B矩阵合并，可以得到如下矩阵：
称为方程组的增广矩阵。
我们通过初等行变换，可以将方程组的增广矩阵[A B]变为阶梯矩阵，再写出阶梯矩阵对应的方程组，逐步回代，可以求出方程组的解。我们称这种方法为高斯消元法。
例如：
此时，我们得到了一个阶梯矩阵。我们由阶梯矩阵的第三行开始，逐步回代未知数，即可得到{zh1}结果
由矩阵我们可读出方程组的一般解为：x1=3, x2=2, x3=1
很显然，线性方程组的解的情况有三种：无解，有无数解，有{wy}解。对于判断方程组解的情况，关键看方程组增广矩阵[A B]化成阶梯矩形后非零行的数量与系数矩阵[A]化成阶梯矩阵非零行的数量是否相等。
定理：线性方程组有解得充要条件为r(A)=r(A B)
推论1：线性方程组有{wy}解的充要条件为r(A)=r(A B)=n
推论2：线性方程组无解的充要条件为r(A)=r(A B)<n
r为矩阵的秩（可理解成矩阵的非零行数量），n为未知数的个数
证明略
如上面的矩形，增广矩阵[A B]化成的阶梯矩阵的非零行数量为3，由系数矩阵得到的阶梯矩阵非零行也为3，二者相等，且与未知数数量相等，故方程组有{wy}解。
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