现今，模型这一概念的重要性和普及性正在日趋增长。除了科学、教育和传统的工程领域，诸如软件开发领域，近十年对模型的重视也有空前的提升。本论坛xx的 另一个重要领域，则是企业（或业务）建模的领域。在《》中，我从词义的角度讨论了“模型”（models）的一些近义或相关词汇。一些近义词，例如“模子”（mould）、模特、型号、典型（archetype），本身就可以理解为某一类的模型。但多数常见和基本的模型分类，并未明确地包含在这些近义中，有许多相当不同的事物，被人们称为模型。虽然其中有一些看似相差甚远，但我们希望找到一些线索和理由，最终理解它们为什么都被称为模型。

从日常生活和学习的角度看，最常见的模型，是“比例模型”（scale models）或实物模型。它们是一些按原物比例缩小（或放大）物体。例如，各式的建筑模型、飞机模型、汽车模型、沙盘模型、生物器官模型、分子或晶体结构模型等。看起来，这一类模型似乎十分明确、易于识别，但也不难发现一些令人困惑例子。例如：

• 用于展示衣饰的塑料人型，无疑是一种模型。当其换为真人——在汉语里就不叫模型，而有另一个专门名词“模特”，在英文中，则就是“model”。人本身作为模型，当然足以自立一类，但从模型分类的立场看，似乎有理由将模特看作一种比例模型或实物模型。这个例子，对于理解“什么是模型”，将很有启发性。
• 诸如化学课上展示的木制酒精分子模型，地理课上的地球仪，是常见的比例模型例子。其中一个是放大的，一个是缩小的。但对形式上与分子模型很相似的木制“电子云模型”，或原子构成模型，它们到底是一种理论或数学模型，还是实物比例模型呢？
• 图画或图像。这将是对模型反复讨论的话题。有人将其归入物理模型，也有人强调比例模型通常是三维的。许多的图画/像是某种三维物体在二维空间的投影。而所谓三维的实物模型，同样是一种投影，只不过投影到三维空间之上。用具体例子来说，作为模型，一幅地形图和一个地形的沙盘的差别也许并不是那么大，它们甚至可以无缝地结合在一起。

“物理模型”（physical models）和“数学模型”（mathematical models）是科学研究领域常见的模型划分，也是学术研究中讨论模型概念时，最重视的基本类型。

对物理模型最基本的理解，是物质的实体，与其目标实体具有某种相似性。相似性和“成比例”，虽然有关系，亦有不同。将前面所说的比例模型，归入物理模型，似乎异议不大，但反过来，若说所有的物理模型都与其目标物具有某种比例关系，就不那么容易判断了。

• 图画仍然是麻烦的来源。图画包含与描述对象的相似性，这无需置疑，但它可以被复制到各种不同的介质上，其存在似乎不能说是“实物”或物质的——也可能被理解为某种形式化的（类似语言的）表达，或一种数据（例如计算机图形）。对认为图画/像（例如照片）是一种物理模型的人，需要回答，如果它本身不呈现为特定的“物质”（例如，可以用不同的油墨，印在不同的纸张、或各种材质的平面材料上），那么所谓“物理的”含义到底是什么？还有一些图画，它所表示的对性就是一些抽象的概念。这与“物理的”也十分矛盾。
• 对物理模型，还有一种与“复制”和“相似”有关的疑问：有种意见将复制物看作物理模型的一种。例如在英文中，产品的“型号”就是model，这并非假借的使用，许多对模型的学术性讨论，都把“型号”意义的model作为模型的一种基本类型，例如汽车型号：它的意义就在于可以有大量等同的复制物。但这涉及到“名”与“实”的区别问题。如果说“型号”是模型，则这个模型的实体是什么？是其设计资料，还是这个型号产品的全体呢。在对于模型概念进行仔细分析之后，我倾向于将“复制物”小心地从“模型”概念中排除，即，需要区分“实例”与“模型”。
• 更好的例子，是“模子”（mould）和用模子作出的实物。例如一个弥勒佛的石膏模，和用这个模子做出的许多“一样的”塑像。我们说，“模型”指的应该是石膏模，米勒像是这个石膏模作为模型所表达的对象，而“弥勒佛塑像”是这些像的名称（而不是这个模型的名称）。将这个例子与“型号”的例子相比，更容易理解，为何我质疑产品型号（比如：解放牌汽车的{dy}个型号CA10）是否“模型”。

数学模型，也许可以比喻为科学殿堂上的皇后。数学模型的基本形式是方程式。如果仅仅在这个意义下解释，这个概念似乎相当明确，没有什么暧昧之处。但从“数学的”意义上稍加延伸，就会发现一些问题。例如：

• 数理逻辑中有模型（models）概念，并且有专门的分支模型论（Model Theory），而数理逻辑的模型，却与我们通常所说的“数学模型”截然不同（甚至可以说，是对立的）。从数理逻辑（模型论）的立场上，前面所说的数学模型（方程式），应称为“理论”。
• 在许多场合数学模型本身常常被视为“理论”的代名词。除了上面所说，必须区别于模型论中的“理论”、“模型”概念外，日常语言（包括一般科学领域的习惯叙述）中所谓“理论”或“理论模型”的含义，与数学模型既有区别，也密切相关密切相关（见下面讨论）。

在数理逻辑分支“模型论”（Model Theory）中，将形式语言的陈述（句子集合）称为理论，而该理论的模型，是一种数学结构（structure），它能够“解释”（interpret）理论中的句子，令它们都成立。换言之，模型论中的模型，是满足其理论的解释，是一种数学结构。这个“解释”，也就是中文所说方程式的“解”。例如：对于理论 “x + y = 1”，{1,? 0}, {0.2, 0.8 }, {-1, 2} 等等，都是其解（即，解释，interpretation），也就是其模型。

数理逻辑模型的概念与一般意义的“数学模型”、“理论模型”的区别，并不应看作一种偶然的用语巧合或引申使用造成的矛盾。在更广泛的意义上考察模型及其使用之后，我认为，模型论无疑是关于模型的一般性理论最重要的数学基础之一。一些近期的研究（例如在本体、语义网领域的一些研究）也可以发现一些端倪。

也许在许多研究者心目中，数学模型是xx、严格的数学语言的运用。但透过模型论，我们可以理解到，e=mc²这样纯数学表达，与“张三今年30岁”这样的自然语言陈述相同的一面。它们都是一个语言上的陈述，其意义（是否成立），可以通过对应的结构（模型论模型）加以解释。

前面提到，在科学领域常所说的“数学模型”（表现为方程式）和“理论模型”，既有联系也有区别。其中的困惑之一，就在于一个“理论”到底意味着什么？许多情况下，科学家可能会强调，xx的理论，就是数学描述，此时，说“理论模型”，基本等同于“数学模型”，但也有很多理论，未必呈现为“方程式”，或者，除了方程式，相关的语言陈述也是不可省略的。更典型的，一种理论，不但需要有某些语言的陈述、方程式，还需要某种“想象的图景”——这样的情形，在理论物理学领域司空见惯。

从模型论的立场上，可以对此作出说明：一般科学领域所说的模型，至少有两种基本类型，一种是数学陈述，它们在模型论中属于“理论”的部分。一种是某种特定的结构，它们在模型论中，属于“结构/解释”的部分。同时，在一般科学领域，这两种模型，又都可以称为理论（或理论的组成部分）。换言之，科学领域常用的词语“模型”、“理论”，都是相对意义上的。但二者的对应关系，都可以基于模型论中的“理论-模型”对应关系来理解。例如前面“电子云”的例子。所谓电子云，实际上就是对量子力学关于电子在原子核周围分布概率的“解”的形象称谓，并且常常被具体的画出来。从模型论立场看，电子密度分布函数是“理论”，电子云是其解，即“结构”——模型。当我们笼统地将“电子云”称为一种理论模型时，既包括其数学描述（方程式），也可包括这个数学描述的解。在宏观领域，“黑洞”是与此相似的例子。

许多对模型的分类，都把各种“图画”或“图像”归为模型的一个基本类别（这里是泛指各种图画、图像、图形等等，英文中，有pictures, drawiings, paintings, graphics等等）。作为模型，就和种种“图画”的近义语一样麻烦。

• 前面已经提到，图画与三维比例模型或物理模型的关系，还有电子云的图（或三维模型），实际上是数学方程式的解。图可以很具体、直观，例如一张照片、一幅太阳的图等等；也可以很抽象，例如图、软件系统架构图等。对于数学意义的“图”（graphics），一方面我们可以用其它的数学语言，将图表达为一组方程式；另一方面，也可以直观地对应着某种物理的结构，比如某个区域上的铁路和车站。
• 计算机的三维模型（3-D模型）是最常用和有趣的技术之一，籍此可以绘出复杂建筑的图像，而且呈现为一种动态的、可多方位观察的相当真实的连续图景。从模型的角度解读，这里有很多耐人寻味的话题，例如，我们所说的3-D模型，到底是呈现在屏幕上的影像，还是储存在磁盘上的一些特定格式的数据？
• 正在日益受到重视的“业务流程建模”，包括更大范围上的，所谓“企业模型”，通常都倾向于以图解为主。这种图，无疑是一种抽象表达。作为图形，流程图它可以和某个电路系统很相似。甚至我们可以设计一个电路系统，来模拟一个业务流程系统。这种相似性意味着什么？与我们所关心的“模型”的种种性质和用途有什么关系？这都是很有意思的话题。

描述性模型（descriptive models）这种说法常被提到，在不同的场合，其所指可能有非常大的差别，关键就在于什么是“描述”。这涉及了对模型的一种基本理解，即它是对目标物构成某种描述。

• 把描述看作一种客观的记述，那么照片、一段文字，都可以是一种描述，这样延伸起来，三维的比例模型也可以看作一种描述。有这样的问题：假如两个形式内容几乎一样的模型，其中一个的对象从来都不存在，那么这个模型就不是描述的吗？按照这个趋势，会发现，“描述”无所不是。
• 相关的另一种理解，则将“描述的”与“规定的”（specific）对应起来使用，区分描述的和规定的模型，但规定本身就可以呈现为一些描述。
• 对描述一种相对较窄的理解，与“语言的”（linguistic，为区别与语言的“元模型”，称为语言性模型，无疑它表现为一些语言陈述）联系起来，这种理解，则把“图画”等排除在外，并且我们自然会将其联系到模型论的句子集合——“理论”。
• 作为一种类型，所谓描述的模型，是相当含糊的。所谓“语言的”模型，相对清楚一些，但也取决于对“语言”的理解，例如现在流行的种种“图形建模语言”，就带来这个困惑。它们到底只是一种“图形标记法”，还是一种“语言”呢？

许多关于模型的定义，运用了“同态”（homomorphism）这一数学概念。同态是数学中映射的一种基本类型。也有人把具有同态对应的模型，称为“同态模型”。这种思路应该说源于模型讨论中的另一种更普遍的思路，即“相似性”。从数学应用的角度，以同态作为相似性的数学模型（或解释），似乎已经普遍接受。作为模型的研究，我的兴趣在于，同态与模型论的关系。关于这个课题，在《》实际已经涉及。

许多学者都认为，“模型”在科学、哲学等领域是相当重要的概念，但同时它也相当暧昧，人们对模型的认识，还存在诸多空白。人们迄今并没有关于模型的，公认的一般性理论体系。甚至还没有普遍接受的、明确的分类。

本文选取了一些常见或典型的模型类型加以简单讨论。通过对这些简单分析，可以看到，“模型”一词在不同的语境之中，有着相当不同的含义。不同的分类，常常相互重叠甚至矛盾。但在对多种多样的模型的长期观察、讨论、比较中，我们也发现，模型论的模型概念，虽然与日常习惯中的模型概念有很大不同，但它可能是认识、理解一般模型，将各种各样不同的模型联系起来的基础。而相关的另一个重要的数学基础，同态，在“模型”的应用上与模型论的关系，将是一个非常有趣，可能还有待澄清的课题。这个课题需要相当的数学基础，希望能有这方面的行家指引，或与感兴趣的朋友共同探讨。

有可能在各种不同语境中相当不同的模型概念之上，提炼出一些更加基本的东西，譬如关于什么是模型更一般的理解与界定。

在实际应用和讨论的经验中发现，对模型概念的习惯或狭隘理解，常常阻碍对模型应用或建模问题的认识。本文的讨论，也许能对此有所帮助，并作为日后导入一般性模型概念的一个引子。