用虚功原理推导Euler Bernoulli beam的刚性矩阵« Youxian企业库|免费b2b网站

Euler Bernoulli Beam是一种比较简化的Beam模型。不同于Timoshenko的Beam模型，Euler Bernoulli Beam没有考虑杆件的扭转。

用方程表达就是：
$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(EI\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}\right)=q$

其中x为杆的轴方向，v为垂直于轴向的位移，q为分布荷重，E和I分别为杨氏模量和转动惯量

（关于Euler Bernoulli Beam的介绍可以参照）

2.1 补间函数

本文采用了四阶的补间函数来表述杆件的位移，其中x为轴向坐标，u为轴向位移，v为切向位移， $\theta$ 为弯曲角度。具体表达如下：

$u=\alpha_{1}+\alpha_{2}x$

$v=\alpha_{3}+\alpha_{4}x+\alpha_{5}x^{2}+\alpha_{6}x^{3}$

$\theta=\alpha_{4}+2\alpha_{5}x+3\alpha_{6}x^{2}$

杆件左端的节点x=0，右端的节点x=l（l为杆件的长度），代入x的值即可表示节点和杆件内各点的位移。

另，补间函数中的 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}, \alpha_{6}$ 为待定系数。

2.2，杆内某一点位移–节点位移的关系

$\left\{ u\right\} &=&\left[N\right]\left\{ d\right\}$

其中:

$\left\{ d\right\} =\left\{ \begin{array}{cccccc}u_{i} & v_{i} & \theta_{i} & u_{j} & v_{j} & \theta_{j}\end{array}\right\}$

$\left\{ u\right\} =\left\{ \begin{array}{ccc}u\left(x\right) & v\left(x\right) & \theta\left(x\right)\end{array}\right\}$

$\left[N\right]$ 的表达式可以通过补间函数得到。

2.3，应力应变–节点位移的关系

Euler Bernoulli杆件的应变表达为：

$\left\{ \varepsilon\right\} =\left\{ \varepsilon_{x}\right\} =\left\{ \varepsilon_{x}^{a}\right\} +\left\{ \varepsilon_{x}^{b}\right\}$

只有轴向，在这里只有x方向的应变需要考虑。表达式中的{dy}项为轴向应力产生的应变，第二项为弯曲产生的轴向应变

由以上的定义，我们可以得到应变于节点位移的关系如下：

$\left\{ \varepsilon\right\} =\left[B\right]\left\{ d\right\}$

另外，我们在此考虑的是弹性杆件，即弹性矩阵[D]不会发生改变，所以应力可以表示为：

$\left\{ \sigma\right\} =\left[D\right]\left[B\right]\left\{ d\right\}$

假设有外力 $f$ 作用在杆件单元上，节点虚位移为 $\delta\left\{ d\right\}$ ，单元某一点的虚应变为 $\delta\left(\left\{ \varepsilon\right\}\right)$ 。

通过虚功原理我们可以建立以下方程：

$\int_{v}\delta\left\{ \varepsilon\right\} ^{T}\left\{ \sigma\right\} dV=\int_{v}\delta\left\{ d\right\} ^{T}\left\{ f\right\} dV$

整理上式，我们可以得到：

$\left[K\right]\left\{d\right\} =\left\{ f\right\}$

其中 $\left[K\right]=\int_{v}\left[B\right]^{T}\left[D\right]\left[B\right]dv$

假设有外力 $f+\triangle f$ 作用在杆件单元上，节点虚位移为 $\delta\left\{ d+\triangle d\right\}$ ，单元某一点的虚应变为 $\delta\left(\left\{ \varepsilon\right\} +\left\{ \triangle\varepsilon\right\} \right)$ 。

通过虚功原理我们可以建立以下方程：

$\int_{v}\delta\left(\left\{ \varepsilon\right\} ^{T}+\left\{ \triangle\varepsilon\right\} ^{T}\right)\left(\left\{ \sigma\right\} +\left\{ \triangle\sigma\right\} \right)dV=\int_{v}\delta\left\{ d+\triangle d\right\} ^{T}\left(\left\{ f\right\} +\left\{ \triangle f\right\} \right)dV$

整理上式我们可以得到：

$\int_{v}&\left[\left\{ \delta d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ d\right\} +\left\{ \delta d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ \triangle d\right\} +\left\{ \delta\triangle d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ d\right\} +\left\{ \delta\triangle d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ \triangle d\right\} \right]dV$

$=&\int_{v}\left[\delta\left\{ d+\triangle d\right\} ^{T}\left\{ f\right\} +\delta\left\{ d+\triangle d\right\} ^{T}\left\{ \triangle f\right\} \right]dV$

接下来，通过消去 $\int_{v}\left[\left\{ \delta d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ d\right\} +\left\{ \delta\triangle d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ d\right\} \right]dV=\int_{v}\left[\delta\left\{ d+\triangle d\right\} ^{T}\left\{ f\right\} \right]dV$

我们可以得到刚度矩阵的增分形式：

$\int_{v}&\left[\left\{ \delta d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ \triangle d\right\} +\left\{ \delta\triangle d\right\} ^{T}\left[k\right]\left\{ \triangle d\right\} \right]dV=&\int_{v}\left[\delta\left\{ d+\triangle d\right\} ^{T}\left\{ \triangle f\right\} \right]dV$

简单的表示即：

$\left[K\right]\left\{ \triangle d\right\} =\left\{ \triangle f\right\}$

其中 $\left[K\right]=\int_{v}\left[B\right]^{T}\left[D\right]\left[B\right]dv$

通过以上简单的推导就得到了刚度矩阵及其增分形式。

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