漫谈 高等数学入门第二课 方程，空间和矩阵的关系
[一. 矩阵和空间的思想]
        我在这里，把线性代数归于高等数学的范畴，因为它的理论适用于很多高等数学求解的领域，例如多项微分方程组的求解，离不开它。
        方程组，有什么物理/几何的意义吗? 有，就是一种映射关系。下图中，左图代表了2维到2维的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表对于满秩矩阵A，[0]只能被映射为[0]。右图代表A不满秩，就是2维映射到1维的情况，一个线段映射到一个点，也就是存在一个"解系"。

        换个角度，由于线性映射常常就是线性变换，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某种交点的性质。根据向量之间相交的情况区分，定解(直线或面交于一点，1和2中的交点)，无穷解(直线平行或面多面共线，这个线就构成解系。1种的红黄色重合线和3中的共线)，或者无解(平行或面没有公共交点，1中的平行线和4中的平行交线)。如下图所示。

        符号系统还有什么作用？在线性代数和微分方程里面的算子理论就是符号系统的一种形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我们可以推出对于矩阵方程组Ax=B有确定解，,那么这个解集是x=(A^-1)*b。这里-1表示逆矩阵，*表示矩阵相乘，其中|A|!=0。这样的表示是正确的科学的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是{jd1}值而是行列式。A此时称为可逆矩阵----这个相当于实数运算里面要保证分母!=0。是不是很相似？
        可逆有什么性质：如果对一个矩阵做线性变换，使用一个满秩的矩阵，那么做变换的结果，秩不变。要注意，把矩阵当成算子的时候，乘法的交换律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性质类似于开根号。两个性质， (1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A^2+AB+B^2=0，那么求证A和A+B可逆。证明：A(A+B)=-B^2。|-B^2|= (-1)^n*|B|^2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N阶可逆矩阵呢？A*T(A)=I的矩阵就是了。推广的说，把分块矩阵的元素可以看作普通的矩阵元素，那么线性变换的结果相似，只是4则运算的单位从"1"变成了单位矩阵"I"。我们从一元方程得到类似的一元矩阵符号运算的性质。说白了，代数意义上就是双射。
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[二. 矩阵运算的物理含义，举例]
        如果把矩阵看成一个2维坐标系离散值的几何，那么
1. 矩阵加法A+B就是A的各个点作平移，平移的度量是B当中对应的点。
2. 矩阵乘法A*B就是一种线性映射：如果A是x/y坐标系，B是y/z坐标系，那么结果就是x->z的映射。举个例子，有3个国家，A国有三个城市，B国有三个城市，C国有两个城市。他们之间的道路状况如下用矩阵表示
->B1,B2,B3
A1 1, 1, 0
A2 1, 0, 1
A3 1, 1, 0

->C1,C2
B1 1, 0
B2 1, 1
B3 0, 1
        那么从A国的每个城市出发经过B到达C的每个城市，各自有多少条线路? 答案就是A*B=[(2,1),(1,1),(2,1)]
3. 我们深入的讨论一下"映射"的概念。举实数为例，y=ax是一个乘法映射，每一个x对应一个y。那么如果知道y求x呢? x=a^(-1)*y。这里影射函数f(x)=ax和反函数g(x)=a^(-1)x互逆。那么我们推广到N维坐标系空间里面就看到，矩阵就是一个N*N 的坐标系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A^(-1)*Y。前提是A的范数!=0。我们构造的得到的A的1范数就是它的行列式。那么到底什么是映射? 莱布尼茨说映射就是一组2元关系。在1维的时候表现为函数的形式f(z)=z，在多维的时候表现为矩阵的形式。1维的多次映射表现为函数的嵌套(g o f)，多维的情形可以写成矩阵的乘法。当然，限制条件是，矩阵能表示的是一个离散值的集合。当然，方阵才有逆----方阵是维数不变的N->N的一一映射，所以可能有且只有一个反映射，或者没有反映射。N->M的不同维数映射无法得到反映射。
4. 形式化的定义。我们如果把矩阵看成一个"算子"的话，矩阵的乘法就能看成一个状态机的推演，推算的过程就是一次算子入栈，反推的过程就是算子出栈。那么显然就能够理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1)，(AB)* = (B*)*(A*)。我们从伴随矩阵的性质AA*=|A|E得到A^(-1)=A*/|A|。矩阵左乘是行变换，右乘是列变换。把矩阵看成算子，同时可以把子矩阵看成算子，分块矩阵的相成和行列式求解也就很简单了。可以把小的矩阵当成一个数来看待。三角阵通过初等变换可以变成分块阵。
5. 初等矩阵有3种，对应3种最基本的矩阵变换，也就是行列互换，行列数乘，一行/列数乘以后加到另一个行/列上面。初等矩阵都可逆。线性变换的结果是"相抵"的。一个矩阵总是能等于一个初等变换矩阵，并且逆矩阵的属性不变。对于可逆矩阵A，总有P1P2P3...PnAQ1Q2...Qn=E。或者说存在可逆矩阵P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。

6. 于是有了线性空间的概念：线性空间V就是一个集合，它同时满足V上的元素加法和对于数域K上面的乘法满足8条线性运算的规则。
7. 为什么要讨论相似? 这里面包含了一种不变性，是研究变换的数学工具。实数变换可以拆分成复数变换，例如酉矩阵，在晶体学里，酉变换叫做幺正变换，也就是将空间（可以是任意维的）中一组基矢做一个旋转操作，不改变矢量的大小和内积。而在量子力学里面，这个用处就更大了，本质上就是量子力学所说的表象变换。是连接两个表象的桥梁。
        矩阵代表了一种二元关系。函数映射是一种1维的二元关系，那么矩阵就是一种N维的二元关系。矩阵的方法就是一种映射的运算，之所以成为线形运算，是因为每一个投影都是具有拉伸和整体旋转的几何意义，相当于向量通过平面镜映射到一个投影平面上面的结果。这里只有平面镜和投影平面，没有哈哈镜和投影曲面。如果我们把2元的对应关系写成复数形式z=x+yi，那么f(z)就是一种投影的关系，只不过f(z)是直线方程的时候对应于一个等效的矩阵，f(z)如果不是直线方程，那么就是一种非线性变换。线形变换有许多很好的性质，能够保持信息的数量和结构保持某种程度的不变性，同时使得结果方便理解和处理。
        映射还有一个性质，就是保角性。假设我们要研究x/y平面上面的x^2-y^2=c和xy=d这两个双曲线之间的夹角，怎么办? 我们可以用微元的办法(微分几何)来求出。但是这样当然很麻烦，而且是一题一解(牛顿喜欢这样做，但是莱布尼茨反对这种解决方案)，不太符合公理系统和形式化推理的思想。考虑z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z^2

费波纳契数列的求解
遇到过这样的问题:
        一个数列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an的通项公式。用中学时代的眼光我们可以观察到，如果an当n-& gt;无穷的时候，是个等比数列，显然符合递推公式。那么我们就可以假设an=入a(n-1)，那么由递推公式我们就可以得到:入^2*a(n-1)= 入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根号5)/2(应为这个比值要>1)，那么an=入^n*a0。当然这个只是一个近似公式，结果不准确而且推导的过程不严格。那么我们用大学的线形代数来求解。我们考虑修正方案构造一个等比数列，an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n- 2)，化简得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2)，于是B-A=1,AB=1，解得A/B=(根号5+-1)/2，剩下的可以参看一组 Wiki(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97)。
        线形代数有什么好处? 就是求解的过程本身可以一直保持变量的形式，可以{zh1}一步才代入实际参数。我们写出一个矩阵形式的递推公式：
[a(n+1)]=[1,1][a(_n_)]=[1,1][1,1][a(n-1)]=...=[1,1]^n[a(0)]
[a(_n_)]=[1,0][a(n-1)]=[1,0][1,0][a(n-2)]=...=[1,0]乘[a(-1)]->
        也就是我们假设A={[1,1],[1,0]}那么就有[a(n+1),a(n)]=A^n*[a0,a(-1)]。于是我们可以通过求解A^n来得到通项公式。求出A的特征值|A-入E|=0->
|1-入,1|
|1,0-入|
=
入^2-入-1=0，两个特征值分别是:入1=(1+根号5)/2，入2=(1-根号5)/2。入1对应的特征向量: |A-入E|x=0->
|1-入1,1|
|1,0-入1|
=
|入2,_1|
|0,-入1|所以对应的特征向量是(1,-入2)。而入2对应的特征向量同样的求法得到(1,-入1)。所以可逆矩阵P=
[___1,___1]
[-入2,-入1]，|P|=(-入1+入2)|=-根号5。它的逆矩阵P(-1)=
[入1,1]
[-入2,-1]，除以根号5。所以A=P(-1)*B*P,B是A的特征值构成的对角矩阵。所以
[a(n+1),a(n)]=A^n*[a0,a(-1)]=P(-1)*B^n*P*[a0,a1]->当a0=a-1=1时an=(入1^(n+1)-入2^(n+1))/根号5

[三. 具体的性质和计算]
1. 对于克莱姆法则求解的过程，我们看到Ax=0的情况，对应于每个解分量的克莱姆除法式，Xn=Dn/DA，Dn矩阵中有一个全为0的列向量，那么求行列式的过程(全乘)结果肯定为0，所以方程组至少有个解向量就是[0,0,0,....]。这验证了我们前面说的，空间直线/面相交于原点的情况。

2. 对于行列式除法，如果有分母等于0的情况，Ax=b就“可能“对应于无穷个解。当然，解之间符合一定的数学约束关系(例如3维空间中的某个直线方程)。举个例子，x=1,y=1,x-y=0这3个平面交汇于直线(x=1,y=1)，那么分母行列式些出来就是
|1,0,0 |
|0,1,0 |
|1,-1,0|
第三个行向量是冗余的，它的行列式＝0。为什么说可能无穷个解(去穷个z)，因为b不同，可能还会导致无解。那么，我怎么知道有解还是无解呢? 那就要求出所有克莱姆除法式的分子，如果有分子分母同为0的情况，就是无解，例如x=1,y=1,x-y=1这3个平面两两相交，但是就是没有公共的部分，克莱姆解法求z分量的过程，克莱姆分子就是下面这个矩阵的行列式
|1,0,0 |
|0,1,0 |
|1,-1,1|
显然行列式=0。

    克莱姆法则提供一个同用的解方程的方法：我们不再需要通过观察数字拼凑的方式来消元了。当然，直接用克莱姆法则还是太复杂了。首先，随着维数的升高，计算复杂度指数增加O(N!)，然后只有求出了所有的克莱姆分子行列式才能判断是否有解，冗余度很高。所以我们需要进一步广义地研究矩阵的特性，矩阵的秩，特征矩阵/向量/值，等等。我们需要从Ax=0推理到Ax=b。

3. 例子: 如果有电路如下，一共5个电阻，方括号中的是电阻值:
|-[1]-----[2]----|
|     |          |
|    [1]         |
|     |          |
|-[2]-----[1]----|
那么如果电路左端是1V电压，电路右端接地，那么流经每个电阻的电流是多少?
    我们可以假设流经每个电阻的电流是x1,x2,x3,x4,x5(从上到下从左到右分别是x1,x2,x5,x3,x4),电压有4个方程，电流分配有2个方程，显然有一个方程是冗余的，没关系，联立求解就可以了。x1,x2,x3,x4作为变量:
x1+2x2=1
2x3+x4=1
x1+x4+x5=1
2x2+2x3-x5=1
x1-x2-x5=0
x3-x4+x5=0