我最早见识费马数的知识，是在1991年，其时正当高一，表叔汤芦保先生正在教高三数学，在他家借书，书柜里有一本数论教材《熊全淹·初等整数论》，后来据为己有了。（sorry）
假期，把那本啃个大半。
后来，荆师（今属长江大学）图书馆有一次卖书，购得闽嗣鹤·严士健《初等数论》，对照阅读，发现熊全淹先生的那本书有70%可与闽·严的书归并。又参照在监利新华书店获得的《梁宗巨·一万个世界之谜》，及从一位数学系校友张？？获赠的《洪伯阳·数学宝山上的明珠》，几本书中均讲到了费马数的研究现状。
将它们作了些归并。后来在深圳打工期间，再参照深圳图书馆的一些数学资料，手工归并整理了些。

现在看来，很多东西，全是在做无用功。利用数学软件，或者对网页进行整理，比对实体书进行笔记整理，有效得多。另外，那些书上的资料罗列的细节，也全可以略去。

下面是一个较全的网页，但还不是源网页，没有公式图片。
下面是据百度百科、以上资料、结合个人相关答题整理，精简并改正其中的错误：
考虑形如2^m+1的素数，易知其中m必须形如2^n。

法国数学家(Fermat,也译作费尔马)于1640年检验了:
　F0=2^(2^0)+1=3
　F1=2^(2^1)+1=5
　F2=2^(2^2)+1=17
　F3=2^(2^3)+1=257
　F4=2^(2^4)+1=65537
　F5=2^(2^5)+1=4294967297（1732年，算出F5=641×6700417）
注：=(5×2^7+1)×(3×17449×2^7+1)

前5个:F0,F1,F2,F3,F4是，第6个数(F5)实在太大了，费马认为是质数。由此提出(费马没给出证明)，形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数。
　　我们用两种途径来证明F5=2^(2^5)+1==0 mod 641。
证明一：（我的方法，很简洁）只须证2^(2^5)==2^32==-1 mod 641.
(以下记ax==b mod m为x==b/a mod m,这是洪伯阳记法，很好用)

2^6=64==-1/10 mod 641,故2^7==-1/5,(2^7)^4==1/625==-1/16,从而2^32==-1.毕。

写成一般的形式：
2^6=64mod 641,故5*2^7==640==-1,1==(5*2^7)^4==(625)*2^28==-16*2^28=-2^32,从而2^32==-1.毕。

证明二：参见《熊全淹·初等整数论》或《谈祥柏·数：上帝的宠儿》或《洪伯阳·数学宝山上的明珠》，方法很噜嗦，略。

以后，人们又陆续找到了不少反例:
   F6=2^(2^6)+1=274177×67280421310721
   F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
   F8 = 1238926361552897 ×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
   F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737
　F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252
　F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564
　F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 1256132134125569 ×
     　568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133
　F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×
　　319546020820551643220672513 × C2391

    至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子。甚至有人猜想：费马数N≥5时，费马数全是合数！
　费马数的因数必然是2^(n+2)*k+1形。例如n=5时，4294967297=(2^7×5+1)×(2^7×52347+1)。
     有意思的是,1801年数学家证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了。（还有数学家作出了257边形和65537边形。）

未完任务：
搞清楚到底除F5到F8外，是否还有fermat数xx被分解为素因子；表素因子为2^(n+2)*k+1型；其它关于fermat数的结果；一些小的标号n的Fn都没有判别是否为素数或者找到最少一个素因子，简直就是数学界的耻辱，那些强大的计算机和数学软件都干什么去了！