这是我去年在《物理双月刊》发表的文章，已经在我其它的部落格张贴过。我现在把它转贴在这里，希望这篇文章对学习物理的青年朋友有帮助。
如何跟物理做朋友 ﹖
文/栾丕纲
一、 前言
对于教物理，我有满腔热忱，但对于该怎么教才是xxx的，我就没有什么特别的心得了。老实讲，我觉得教书其实是一件很难的事。比如说，我永远没办法确定，究竟是要教「完整的内容」给学生比较好，还是将大部份的力气花在教「学生最容易吸收的部份」对学生比较有帮助。因此，虽然我同意为物理双月刊写一篇与教学有关的文章，但我必须要采用比较另类的方式，否则就生不出这篇文章了。
几经思索，我决定采用「跟大家分享学习经验」的方式，将我的物理学习心得跟大家报告，希望能达到「众乐乐」的效果。我相信我的学习经验与方法对大部份从小就想当科学家的人而言是很普通的，但大多数的学生们或许并不是那么清楚这些诀窍，因此我特别想跟学生们分享。我希望看到这篇文章的读者们，能在学习方法上获得一些启发。以下我将逐项说明我的物理学习心得。这些项目的顺序并不重要，重要的是它们的内容。
二、学习物理的 18 个诀窍
1.「童年数据库」很重要
小时候的经验与感受，会成为长大后吸收知识与理解学问的基础。我在这里所说的是童年时期的玩耍经验。小时候我爱玩水、用放大镜聚焦阳光烧东西、镜子泡水反射阳光造彩虹、自行制做玩具飞机、直升机、玩具船，以及玩具车等等。在玩水的时候，我其实也学到了什么是浮力、（水）压力、反作用力（螺旋桨向后推水造成船向前跑）、表面张力（小时候的一毛钱可以被它「撑」在水上）、温度与比热（冷水与热水，金属与塑料的触感）、折射（看水里的影像）、波的现象与振动等等。玩飞机或直升机的时候，我可以知道什么是重心、攻角与升力（说真的，比较学不到伯努利定律）、力矩（螺旋桨在转的时候，握住飞机别让它飞）、对称性与稳定性、弹力位能与动能的转换（橡皮筋上紧点，螺旋桨就可以转得快一点）。玩玩具车或是滚球、滚轮子的时候，可以学到摩擦力、动量、惯性、角动量与力矩等等。所有的这些玩耍都提供了潜移默化的学习经验。它们虽然没有被冠上物理的专有名词，但当我学物理的时候，我可以很清楚的知道那些公式跟我的童年经验是密切相关的，因此不会觉得物理很抽象。
我认为现在的孩子在这些经验的累积上有太多的障碍。父母的过度保护（怕孩子受伤因而剥夺了他们的「玩耍权」）、过度灌输（现成的知识）、过多的信息（发呆不被鼓励），以及小孩子太早接触计算机（活在虚拟世界），都是造成他们不能顺利累积这些童年经验的原因。没有这些经验做基础，物理就会显得很抽象而难学了。如果小时候没有这些经验怎么办 ﹖我的建议是「重新活一遍」﹗也就是把自己当成小孩，去累积这些经验。
2. 把数学学好
学生往往有一种迷思，以为「物理观念比数学重要」（许多老师也会这样说），因此会「希望老师多讲物理观念，少讲数学」。这个想法本来是正确的，如果学生们的数学基础 OK 的话。可是，我发现现在一般学生的数学基础都不怎么好，因此我不得不多讲一点数学。对于数学基础较差的学生，我就算讲再多的物理观念，也都只是「老师的物理观念」而已。学生们或许会试着将我讲过的观念背下来，但这些没有消化的观念根本是没有用的。如果一个大学生连微积分的基本运算都有困难，我就实在想不出他要怎么学物理了。如果学生能打好数学基础，那么他/她自然就比较有可能自己找出公式的物理意义，而不必依赖老师。
许多学生会说自己的数学不好是因为有许多数学课程没有学过，或是授课老师没有教过。其实，从来没有任何一门数学课程能保证教给学生所有他在学习物理时会遇到的数学。一个积极主动的物理学习者一般都会自己找方法把物理中所遇到的数学问题解决掉—不论那些方法是很直接的还是很间接的。举例而言，在初学「黑体辐射」（blackbody radiation）公式的时候，我遇到了一个不知从何而来的因子 
3. 搞懂定义—培养语文与逻辑能力
我发现有许多学生在写作业或考试的时候，往往没看清楚题目就作答了。这些学生读书的时候，通常也不能掌握公式的基本假设与适用条件。更糟的是没搞清楚某一个术语的定义就拿来套用。我发现造成这些现象的原因是多重的。有些学生是没耐性，有些人是逻辑训练不够（想讲的与讲出的不同），还有一些学生是语文理解能力不好（通常是中文与英文都有问题）。很多情况下，只要将定义弄清楚，问题就已经解决了一大半。
4. 适应新讲法
自称能理解「物质波」，却不能接受「波函数」，或是能了解「波函数」，却不能接受「狄拉克符号」（Dirac notation）的学生比比皆是。能够接受 
5. 用自己的话讲清楚
知识必须消化，否则就变成只是数据的累积罢了。将学来的观念用自己的话讲出来，就会很容易接受并记得。一个更好的方法其实是把学到的观念跟别人分享。借着分享知识并与别人讨论，学到的观念就会进一步强化并在脑中生根。
6. 锲而不舍找答案
如果想解决一个物理问题，该如何找答案﹖除了自己想，自己试之外，还可以怎么做 ﹖可以问前辈、与人讨论、上网找数据或问人、找书，或是找同好一起研究。有时候找到的资料并不能直接解决问题，但却可以加深你对问题的认识。当我们对问题认识得够深时，或许就知道该怎么解决了。
7. 愿意再学一次
既使教的是同一门物理课程，我还是会在每一年都重新再备课。表面上看起来，我这么做是在浪费时间，实际上却会有很多收获。每一次重新备课几乎都能让我发现一些新的讲法，或是发现我本来以为「xx无遐」的讲法其实有漏洞。有时候重新推导一至几遍过去已推过的公式，会让我更明了推导过程中的关键概念，强化自己的运算能力。此外，由于在两次学习之间通常我们已经多学了某些其它的东西，因此借着「再学一次」，往往可以发现不同学问之间的关系。根据这个看法，重修一门课未必是不好的。
8. 老师没教的更有趣
由于教学时数有限，以及老师所教的范围未必与课本内容一致，一本课本常会有老师没教的部份。有几类内容常常是老师不教的。{dy}类是老师认为你已经学过，而你也以为你学过，因此不须要教（例如电磁学中的向量分析）。第二类是与课程主轴无直接关系，不教并不会影响连贯性（例如相对论与电磁学的关系）。第三类是太难或太繁杂，或是老师自己也不是很懂，因此还是别教比较好，以免教错了（这部份通常是课本作者的专业，却不是任课老师的专业）。在我的学习过程中，我发现这类「老师不教的内容」通常比较有趣（里面往往会有跨学科的讨论内容），而且是「累积个人功力」{zh0}的教材。当别人都没有学到这些内容，而你却学到了，你的物理功力当然就会比较强啰﹗
9. 打破界线，自由联想
电磁波、声波、物质波、水波，与绳波有什么异同 ﹖本征函数（Eigenfunctions） 与本征向量（Eigenvectors） 有何相关性 ﹖在磁场中运动的电荷与在旋转坐标系中运动的质点有何类似性 ﹖振荡的弹簧-质块系统与振荡的电容-电感系统有何相似性 ﹖单粒子时变性薛丁格方程式、扩散方程式，以及布朗运动这三者有何关联性 ﹖能够做这类自由的联想，并努力去找答案，就能加深你对物理的体会。
有时候同一种东西会在不同的科目重复出现，但学生们通常认不出这种重复性。例如在物理系的课程中，傅立叶级数 (Fourier series) 与傅立叶转换 (Fourier transform) 会出现在力学（波或振动）、电磁或电路学（电讯号）、近代物理或量子物理，光学，甚至高等课程中的凝态物理与量子场论。如果能打破学科之间的人为限制，将它们放在一起学，一定可以加深对各学科的关联性的了解，也可以使学习者对物理的认识更有整体观。
10. 跟老师或作者斗智
老师或教科书的作者对某些观念的解释或问题的处理方式不见得是{zh0}的，通常也不是{wy}的。同一个问题，可以试试不同的处理方式。你的想法或许并不是那么有效率，但当你找到一个成功的想法时，那种成就感是无可取代的。这种经验可以大大的增进学习者对物理的兴趣与自信心。
11. 检验论点的合理性与一致性
上一段忠告是针对比较消极与没自信的学习者，这一段则是针对过度有自信，但却不够严谨的学习者。有些人会在没有仔细检验的情况下，轻易地宣称他「建立了一个新理论」、「xx了前人的结果」、「发现了一个新现象」，或是「别人都做错了」。跑程序做数值仿真的研究生，也常常会得到奇怪的模拟结果，却浑然不知该结果的不合理之处。其实在多数情况下，这些奇怪的结果是来自错误的程序内容、不合理的参数范围，或是程序的逻辑虽然正确（可以跑），但所跑的不是原来你要计算机跑的东西。
有许多方法可以检验你所得到的结果的合理性。例如在关于电磁波散射与传播的研究中往往需要检验「能量的守恒性」、「相位的连续性」、「边界条件是否正确」、「波长与结构尺寸的比例是否合理」、「偏振方向是否正确」等等。若讨论的是解析的公式，通常可以检验该公式在取某种极限的情况下，是否会得到与已知的经验兼容或一致的结果。在做这些判断时，往往需要有一些 common sense（尺度、大小、远近、前后、方向、强弱、正负、软硬、弯曲或平坦、连续与不连续、特殊或一般、概略或精准），或是对物理系统中各种参数的范围有一个大概的了解（例如空气中的声速是每秒三百多公尺，真空中的光一秒可以绕地球七圈半等等）。物理直观的能耐往往就是在这些检验中培养起来的。
当然，有些看似不合理的结果，其实只是我们不够了解，因而做了错误的判断。这样的事情会发生，但并不多见。如果一个理论或实验的结果正确，只要它能被发表（这点并没有保证），终究会通过重重考验，获得认可的。
12. 更新/更正你的知识
当我们对物理的认识加深之后，往往会发现过去的某些想法不够全面，或是有部份的误解，或是根本就错了。这时候就应该更新想法或知识。在教学的经验中，我偶尔会发现过去的某些陈述不正确，此时我就会告知学生我所犯的错误，请他们注意。若是学生能主动发现我的错误，那就更好了。
13. 善用寒暑假
我曾经是一个转系生。就在我转系的那个暑假，为了在开学后跟上物理系同学的进度，我在暑假里自学了向量分析，一点张量分析，以及一部份的力学与电磁学。在我正式成为物理系的学生之后，我还是继续维持这种在寒暑假学习的习惯。
我发现寒暑假里的学习很有效果。我可以花很多时间思考并消化书中较困难的部份，而这是在开学后难以办到的。对于已经修过的科目，如果能在在寒暑假里重新思考并消化、整理你所学的内容，一定可以让你对「究竟学到了什么」有一个更清楚的认识。
14. 读大师著作寻找启发
有机会的话，物理学习者可以试着读一些大师的著作。这些大师著作与一般的教科书{zd0}的不同就在于大师不只提供知识，还交待了获得知识的过程。它们的原创性与强烈的个人风格是在教科书中学不到的。读这些著作可以让学习者对物理的发展脉络与思考途径有更清楚的了解。
我读过Einstein的几篇相对论论文与书籍（中译本）[2,3]、Dirac的《量子力学原理》（Principle of quantum mechanics）[4] 及《广义相对论》（General theory of relativity）[5]、Feynman物理学演讲（Feynman Lecture on Physics）的部份内容 [6]、Landau的《力学》[7]（Mechanics）与《古典场论》（Classical Theory of Fields）[8] 各一部份，以及李政道《统计力学》[9] 的部份内容。对我而言，读这些著作的乐趣是我能从其中学到大师们如何「一砖一瓦」地建立起他们的学说，以及他们如何运用{zy1}的思考能力解决问题。
15. 想象力与知识缺一不可
想象力比较重要还是知识比较重要 ﹖虽然爱因斯坦曾经讲过「想象力比知识更重要」(Imagination is more important than knowledge) [10]，但我认为那是因为爱因斯坦已经很有知识了才会这么说。对一般人而言，两样应该都是很重要的。若没有基础的物理与数学知识，通常就没有办法学习较进阶的物理学。由于进阶的物理学通常会比较抽象，因此学习者必须要尽量发挥想象力，做许多的模拟，建立起基础物理概念与进阶物理概念的连结，才比较容易理解。
我会将已弄懂的物理知识尽可能转换成图像或意像，甚至是「个人专用」的符号或感觉。拥有这些方便使用的工具，就比较容易思考较困难或高深的物理问题了。
16. 善用信息科技与网络资源
拜信息科技（特别是影像与动画）之赐，我们可以将许多过去难以说明的物理现象或观念图像化或可视化，以帮助我们去掌握物理系统的特性。比如说，在光子晶体的研究中，时常可以藉由计算机仿真找出电磁波在此种人工介质中的传播特性，而且模拟结果会与实验结果十分接近。由于模拟通常比实验便宜，而且容易做到快速且全面的测试，因此它除了可以取代一部份的实验之外，还可以提供实验特别难做的那些情况的「虚拟实验」结果。当我们观察了许多这种「虚拟实验」的结果后，往往可以建立起一些定性的物理概念，而这些概念是很难靠解析运算或是数量很少的实验建立起来的。
在学习较基础的物理时，也可以借着写一些简单的程序而将公式的内容图像化。例如使用Matlab软件画图或是制作动画，可以帮助学习者看到函数的形状（如Bessel 函数、 Legendre多项式、Hermite 多项式）、电磁场的分布、机率分布，粒子的运动轨迹等等。
除此之外，还有许多网络资源可用。例如有一个叫做 Hyperphysics 的网站 [11] 提供了包括力学、电磁学、光学、声学、相对论、热学、凝态物理、核物理、量子物理以及天文物理的基本知识（程度大约相当于大一普通物理或是更详细一些）。此外，只要在 Youtube 网站键入某些物理关键词（例如Quantum Mechanics），也可以找到包括MIT、Berkeley、Stanford 等许多美国知名大学的物理课程影片。读者们可以尽量试着去利用这些免费的网络资源。
17. 身历其境学习法—角色扮演
有时候模仿偶像是xxx的学习方法。当今有许多青少年以艺人为偶像，努力学习她/他们的舞步或是歌唱技巧，往往能获得不错的成果。物理的学习也可以这么做。找一至两个物理偶像，例如爱因斯坦或费曼，模仿他们思考或表达的风格，甚至想象你就是他们，并以他们的方式处理问题，这将可以帮助学习者超越个人心理的局限，达到较大的进步。我认为这里的关键其实是在模仿偶像的过程中，你必须不断修正自己的弱点才会跟偶像的表现愈来愈相似，这就自然而然地增加了练习的次数，也深化了学习的内容。我从中学就开始使用这个方法（当时的偶像是爱因斯坦），发现效果很好。教书之后，更是常常参考《费曼物理学讲义》的表达方式与思考风格，偶尔来个「角色扮演」自娱一下，发现很有帮助。
还有另一种意义之下的角色扮演。想象你是26岁的爱因斯坦，刚刚发明了相对论。在那个火车是跑得最快的交通工具的时代，你会不会用火车做例子，对别人解释你的新理论 ﹖又比如说如果你是牛顿，知道一些关于月球运动的规律，也知道克卜勒三大定律；当你被苹果砸到时，会想到万有引力吗 ﹖做这类联想是很有意思的，可以让我们更了解科学家们在发展他们的学说时所可能经历的心理过程，以及这些学说诞生时的革命意义。这种对科学的人文面的探讨在一般的理工课程中很缺乏，但它却能大大地增进学习动机与兴趣。
18. 剩下的才是教育
爱因斯坦曾说﹕「当一个人忘了学校里所学的一切，如果还剩下什么，那个剩下的就是教育」（Education is what remains after one has forgotten everything he learned in school） [10]。如果这个讲法是正确的，学生该如何下功夫，让自己多剩下一些 ﹖我认为学生应该多多尝试去找出物理中最能吸引他/她的「美妙」或「神奇」之处。我相信，只有当我们觉得这门学问「有意思」时，才能学得好又学得深。
三、结论
物理不是一门很容易学的学问，更不是一门容易教的学问，它对学习者与教师的要求都很高。然而，我的经验告诉我，物理是一门非常有意思的学问。我若不是觉得物理这么有意思，就不会花这么多工夫写这篇文章了。希望这篇「物理真有意思分享文」能够对还不清楚物理该怎么学，或是还不能体会物理的乐趣的朋友有点帮助。
四、参考文献
[1] WolframMathWorld, Riemann Zeta Function, http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
[2] 《爱因斯坦文集》（卷1,2），凡异出版社
[3] 《狭义与广义相对论浅说》，北京大学出版社
[4]《量子力学原理》，狄拉克/着，凡异出版社
[5] “General theory of relativity”, by P.A.M. Dirac, Princeton University Press
[6] “Feynman Lectures on Physics”, by Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands, Addison Wesley; 2nd edition
[7] “Mechanics”, by L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann; 3rd edition
[8] “Classical theory of field”, by L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann; 4th Edition
[9] 统计力学，李政道着，凡异出版社
[10] HeartQuotes?: Quotes of the Heart http://www.heartquotes.net/Einstein.html
[11] HyperPhysics :
作者简介
栾丕纲：中央大学光电系副教授
