向量组的线性相关性

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1. ： 构成 矩阵 ；

个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14)

4. ；( 例15)

5. 维向量线性相关的几何意义：

①、 线性相关 ；

②、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；

③、 线性相关 共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若 线性相关，则 必线性相关；

若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：

若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 (二版 定理7)；

向量组 能由向量组 线性表示，则 ；（ 定理3）

向量组 能由向量组 线性表示

有解；

（ 定理2）

向量组 能由向量组 等价 （ 定理2推论）

8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；

①、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解

②、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；

③、矩阵等价： （ 、 可逆）；

9. 对于矩阵 与 ：

①、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；

②、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵 的行秩等于列秩；

10. 若 ，则：

①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；

②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解 只有零解；

②、 有非零解 一定存在非零解；

12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题19结论）

（ ）

其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性： ；充分性：反证法）

注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关；（ ）

②、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；

14. 线性相关

存在一组不全为0的数 ，使得 成立；（定义）

有非零解，即 有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；

16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关.