理论是论的基础。
　　所谓测度，通俗的讲就是测量区域的尺度。 我们知道直线上的的测度就是通常的长度；平面上一个闭圆盘 的测度就是它的面积。
　　对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？ 比如上所有构成的，它的测度怎么衡量呢？
　　一个简单的办法， 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是（就是可以排像自然一样排好队，一个个数出来，也叫，见），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是{dy}个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。
　　现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。这样我们就说有理数集的测度是0。用上面这种方法定义的测度也叫外测度。
　　一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的。
　　比如上的D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是）。如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。
　　实直线上的测度如下给出：
　　设E是实数集，考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何x∈E,都有某个j,使得x∈(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+..的下确界称为E的外测度
　　如果对任何集合F都有E∩F和F\E的外测度之和等于F的外测度，称E可测，定义其测度等于外测度
　　直观含义上面的朋友已经解释过了
　
　　测度的相关数学定义：
　　集函数：设Ψ是上的非空集合类。若对于每个一个A∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为φ(A)，且至少有一个A∈Ψ,使得φ(A)取有限值，称φ(A)为定义在Ψ上的集函数。
　　(1)若对任意的正整数n以及任意的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…An)∈Ψ，有
　　φ(A1∪A2∪…Ai∪…An)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(An)]，
　　则称φ在Ψ上具有有限可加性，也称φ是Ψ上的有限可加集函数。
　　(2)若对可列集的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)∈Ψ，有
　　φ(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(A∞)]，
　　则称φ在Ψ上具有xx可加性或者б-可加性，也称φ是Ψ上的б-可加集函数或者广义测度。
　　(3)若对每一个A∈Ψ，φ(A)都取有限值，则称φ为上的有限集函数。如果对每一个A∈Ψ，存在一个集合序列⊂Ψ，使得
　　A⊂(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)，φ(An)<+∞，n=1，2，……
　　则称φ是Ψ上的б-有限集函数。
　　(4)若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加，且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或者简称概率，一般用P表示。

　　此外，测度还可以取值于任何线性空间（通常带有一定拓扑，比如Banach空间），只要满足相应的可数可加性。在Hilbert空间算子理论中还有所谓谱测度的概念，其中测度的取值为一固定Hilbert空间中投影算子的全体，且满足（在强意义下）的可数可加性。
　　如果测度空间X是拓扑空间而所考虑的б代数（或者б环，后者按照Halmos《Measure Theory》）由全体紧集生成（这定义不是标准的；有的书上说是由全体开集生成），且测度在每个紧集上取有限值，则称为Borel测度。如果Borel测度限制在所有能写成可数个开集的交的紧集生成的б环上，则称为Baire测度。如果任何可测集E满足
　　μ(E)=sup{μ(K): K含于E,K紧}=inf{μ(O):O包含E,O开}
　　则称μ为正则测度。
　　Riesz-Markov表示定理：设X为局部紧T2空间，则对Cc(X)（即X上有紧支集的连续函数全体）上任何正线性泛函φ，存在正则Borel测度μ使得对任何f，φ(f)等于f关于μ的积分。

　　研究数量规律的分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。及就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题

　　如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家1933年在他的《概率论基础》一书中{dy}次给出了概率的的定义和一套严密的公理体系。他的成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。