噪声这一术语的出现已经有100多年了，1905年，爱因斯坦在解释布朗运动的时候引入了噪声，并试图证实原子的存在。说到爱因斯坦，忍不住多提几句。1905年爱因斯坦发表了几篇论文，其中主要有三大贡献：布朗运动的解释，光电效应以及狭义相对论。看上去好像是几个无关的话题，实际上却都和物质的本质有关。用爱因斯坦的话说，之所以解释布朗运动，是为了证明原子的存在。光电效应的解释是为了阐述光这一物质的特性。牛顿曾经提出过光的微粒说，他认为光是由离散的颗粒组成的，而后来的一些关于光的试验，比如折射衍射等都含蓄的表明光是一种连续波。爱因斯坦在这个问题上前进了一步。目前的认为是光有波粒二象性，既有连续波的特征，又有粒子的特性。似乎可以认为，光是像数据包一样的一个一个传递的，而这些数据包具有连续波的特性。狭义相对论自然是为了了解时空。具体大物也没学好，说不清楚了，sigh。其他两个问题就不涉及了，下面主要从布朗运动开始。
布朗运动是植物学家布朗在显微镜下面观察到的一种现象。大致是说，如果把花粉这种小微粒放入水中，那么在显微镜下面会看到它们悬浮在水中，并随机的运动。布朗试图弄清它们为什么会运动，做了很多猜测与实验，但{zh1}也没有得到合理解释。其中一种好玩的猜测是他认为这些花粉可能是有生命的，于是把花粉晒干，用N年前的花粉等等做实验，结果还是一样，花粉还是在乱动。后来也进行过一些其他小颗粒的试验，发现它们很多都会随机运动。在布朗之后，也有很多人进行了这种现象的研究。考虑过的原因很多，比如温度的起伏，液体表面张力的作用，甚至还有光，电的影响等等。实际上在1880年一个叫Georges Gouy的法国物理学家，找到了一个比较接近真实情况的原因。他是一个实验物理学家，关于布朗运动做了很多实验，{zh1}得出了一个结论：微粒的运动不可能是由外部因素引起的，他声称是由液体内在的一些属性造成。实际上，他认为这是原子的一种反映。这已经很接近爱因斯坦了，不过没有给出具体的结果。
细节就不敢阐述了，因为不懂。说说观点吧。爱因斯坦认为花粉微粒像一个大原子，它会被周围的真实原子所推动。这两种微粒的平均运动能量都一样。可以用看得见的微粒来探测看不见的原子。最重要的结论是：假如存在原子，那么微粒就会这样运动；而假如微粒这样运动，原子就必定存在。其中借用了以往热力学的知识。之后，物理学家佩兰对爱因斯坦的解释进行了验证，表明其解释是合理的，后来还获得了诺贝尔奖。当然，佩兰获诺贝尔奖的原因应该不止于此。
    从布朗运动的机理可以看到，爱因斯坦之所以引入噪声，就是想从随机过程的统计角度来研究原子的无规则运动对花粉颗粒究竟会起到何种影响。顺便提一句，爱因斯坦在研究随机过程时还引入了自相关函数的概念，并讨论了其与功率谱密度的关系。目前所知的维纳辛钦定理实际上在爱因斯坦的时候已经被引入了。对于花粉微粒来说，某个运动方向的原子可能会比反方向多，这样微粒就可能会运动起来。虽然一个人不可能推动一座楼，但是成千上万个人就可能了。同样，将液体这种属性搬到其它物质上来，比如，电子器件内部电子的无规则热运动同样会引起类似的效应。下面从电子学的角度来看看噪声。
    真空管是在1904年由Fleming发明的。它起初的功能是将交流信号转化为直流信号，即整流。当时爱迪xx现了一种效应，把一个充了正电的金属盘放到一个热的灯丝前面，那么灯丝中的电子就会释放出来跑到金属盘上，尽管它们之间没有物理连接。这是因为热的物质会释放电子出来，金属盘又带了正电，因此将带负电的电子吸引了过去。爱迪生没对这个现象作任何理论解释，他更关心实现的问题。不过这种现象现在仍然叫爱迪生效应。De Forest在1905利用了这个效应。他将一个金属网格加在了灯丝和金属盘之间。这种网格就像是蚊帐那种挡蚊子的格子，不过是金属丝制的。之后就有趣了，只要将这个网格进行适当的充电，那么就可以控制从灯丝跑到金属盘上电子的数量，也就是电流的大小。显然，将网格充更多正电，电子就很积极，跑得多，反之，电子则很懒，跑得少。假如对网格的电压做一点调整，那么电子跑动的变化程度就会成倍的放大，因此放大器就诞生了。真空管变成了最重要的器件，直到1950年左右被晶体管所取代。真空管有很多种，加一个网格的就叫三级真空管，因为由三级组成：灯丝、网格和金属盘，多加网格的就变成四级，五级真空管。诸如此类。
关于真空管、半导体和其内部噪声的研究主要有Schottky， Johnson和 Nyquist。Schottky是个很牛的人，理论和实践都很牛。他貌似还是{dy}个游走于学术界和工业界的科学家。他大部分时间是在西门子的实验室度过。他是半导体物理和固体物理的奠基人之一。在1918年的一片里程碑的论文中，他{dy}个考虑了散弹噪声和热噪声。散弹英文是Shot，但并不是根据Schottky的名字抽样而来，因为他大部分时间在德国，开始给这种噪声起的名字在德语中意为像炮弹一样的小球之意，因此英文为Shot。
散弹噪声大意是这样，把从灯丝到金属盘的电子想象成小球的发射，电流的大小就决定于单位时间内小球平均发射的数量。因为小球的发射有随机性，因此在任何时刻小球的数量并不是固定的，与平均发射数量相比有一定的上下波动。这种波动即称之为噪声，特别称其为散弹噪声。想象一下倾盆大雨下到屋顶的情形，如果去测量这一分钟和下一分钟的降雨量，那么我们会发现是近似相等的。但是如果去测量此十分之一秒和下十分之一秒的降雨量，那么就会发现不相等。这种波动就是噪声。
    热噪声主要是因为导体内部比较松散的缘故。因为比较松散，可以把导体想象成为一个屋子，电子就是屋子里面的气体分子。在没有电压差时，平均意义下，从屋子左边跑到屋子右边的分子和反方向跑动的分子是差不多的，但是某些时候可能从左边跑到右边的分子要比反方向跑得多，因此等效于电流的微弱波动。电子运动的速度是一个随机变量，并遵循一定的分布，类似于大物里面学过的气体分子运动规律之类。如果速度的分布越宽，那么波动的程度就越大。而这个分布宽不宽是跟温度有关系的，因此，这种波动也就是跟温度有关系的，所以就叫热噪声。
    Johnson一直进行散弹噪声和热噪声的研究，并作出了很大的贡献。他和Nyquist都是贝尔实验室的。两人合作了很多成果。Johnson一般研究具体实验给出结果，而Nyquist一般则给出理论解释。目前很多书上都可以看到的那个热噪声的公式就是Nyquist给出的。貌似其中利用了关于黑体辐射的普朗克公式。这两个人都是电子工程史上的重要人物。Nyquist的大名到处都可以看到，在信号处理中的Nyquist采样定理，通信中的Nyquist准则等等。还有模电里面似乎也有，不过记不清了。
    噪声的研究在电子工程上起着基础的决定性作用。举个牛一点的例子，看看噪声的贡献。大气中会有大气噪声，比如温度，太阳的影响等等。这对电磁波的传播有影响，具体影响就不清楚了，电磁场没学好。四十年代后期，贝尔实验室接到个项目，目的是研究和理解大气中的噪声源。他们弄了一个巨大的天线，并通过指向不同的方向来判断噪声源。然而，无论如何指，无论何时指，噪声都会高于一个固定值。换句话说，某些噪声一直存在着。首先是考虑设备有没有出问题，但后来仔细检查被排除了。Penzias和Wilson是负责这个项目的其中两个人，他们找到了普林斯顿附近的物理学家Dickie寻求解释。Dickie立即意识到了，这就是他追求的结果，并给予了圆满的解释。事实上，当时存在两种对宇宙诞生的不同的观点，哈勃望远镜观察到的红移现象表明各个星球在逐渐远离。Gamow等人提出宇宙在膨胀的观点。他们认为最初的时候，宇宙类似于篮球这样大，由于非常热，因此看上去发着强烈的光，有着极大的辐射。而很多很多年之后，宇宙凉下来了，由于所有物体都会有黑体辐射，这种辐射与温度有关。Gamow并预测目前的辐射大约为10K。另一种观点是Hoyle, Bondi和Gold支持的，他们认为宇宙一直就是这个样子，处于稳定状态，但是因为观察到星系在扩张，为了弥补宇宙密度会减小这个推论，他们认为物质会源源不断地被创造出来以保持密度的恒定性。当然，在他们的模型中，没有存在残余辐射这种直接推论。有点搞笑的是，Hoyle为了说明Gamow模型的荒谬性，说他的模型是“Big Bang”以进行鄙视。事实上这个名词就是后来所说的宇宙大爆炸。不过Hoyle也是个重要的天文学家。“Big Bang”应该只是调侃之意。言归正传，Dickie公布了贝尔实验室的这一事实，后来被证实为宇宙大爆炸理论的有效证据。
    顺带再提几个牛人。噪声的数学基础是由Bachelier，Einstein，Smoluchowski和Langevin等人建立起来的。.他们的工作基本都是各自独立完成的。只有Langevin知道爱因斯坦的一些结果。Einstein就不提了，妇孺皆知。Langevin是个xx的物理学家，在很多领域有基础的发现。特别是物质的磁性方面。中文名叫朗之万。被认为是上个世界最伟大的物理学家之一。不一一说明了，引用一下百度百科的原文先：
朗之万（1872～1946）
法国物理学家。1872年1月23日生于巴黎，1946年12月19日卒于同地。1888年和1893年先后考入巴黎物理和化学高等学院及高等师范学院， 1897年毕业后，到英国剑桥大学卡文迪什实验室进修一年。1909年任法兰西学院教授，1934年当选为法兰西科学院院士，1930年和1933年曾两度当选为索尔维物理学会议主席。朗之万以对次级X射线、气体中离子的性质、气体分子动理论、磁性理论以及相对论方面的工作著称。1905年提出关于磁性的理论，用基元磁体的概念对物质的顺磁性及抗磁性作了经典的说明。1908年发展了布朗运动的涨落理论。在{dy}次世界大战期间，为了探测潜艇，利用石英的压电振动获得了水中的超声波。他坚决反对法西斯，反对侵略，在第二次世界大战期间，曾被德国占领军逮捕入狱，和法西斯进行了严正的斗争。中国九一八事变后，他进行了各种声援中国的活动，并批评了国际联盟对日本侵略者的纵容。
{zh1}这几句要努力RE一下，恩。貌似这段话没有提及他与居里夫人之间的关系。我也不清楚他们之间的千丝万缕的关系，只是知道朗之万是居里的丈夫皮埃尔的学生，貌似比居里夫人还小5岁。皮埃尔由于车祸去世，后来他们之间有了亲密的往来，但是朗之万已经结婚了并有孩子，后来这件事被朗之万的老婆发现了，就告诉了报社。于是，诽谤四起，谣言纷飞。后来，朗之万也老实的回到了老婆身边，不过貌似不是很幸福。顺带提一件事，后来朗之万的孙子娶了居里夫人的孙女。
法国巴黎大学的Bachelier中文名是路易斯 巴舍利耶。是随机过程理论的创始人之一。在1900年，Bachelier发表了一篇论文，奠定了当代金融学的数学基础。Bachelier是数学博士，他的博士论文就是将布朗运动的数学理论应用于评估股票期权的价值。顺便说一下，股票价格波动很多时候会用统计物理比如布朗运动这种扩散现象来研究。引用一句，MIT的数学家F. Black和芝加哥大学经济学家M. Scholes建立的Black-Scholes方程也同统计物理中的Fokker-Planck方程密切相关。
还差一个人，Smoluchowski。再引用几句话，Smoluchowski是波兰人。早在20世纪初，他就在胶体动力学上做了一些影响深远的开创性工作。是胶体动力学的奠基人之一。悬浮粒子的碰并研究就是他在20世纪初开辟的。从爱因斯坦文集可知他是一位杰出的理论物理学家，不幸英年早逝，爱因斯坦特为文悼念他。实际上，爱因斯坦所做的关于布朗运动的工作他都做了，并且考虑了爱因斯坦没有考虑的其他一些问题。比如考虑微粒所受重力的影响等等。在物理和化学领域做随机过程的很多人都知道他，不过其他领域的就寥寥无几了。用一些科学家的话说，如果不是受爱因斯坦的光辉所掩盖，那么Smoluchowski应该是个家喻户晓的名字。这种情形和当年的Robert Hook的情况类似，中文名是罗伯特·虎克，再次引用百度百科的话：
罗伯特·虎克（1635～1703）
Hook，Robert
英国物理学家。1635年7月18日生于怀特岛，1703年3月3日卒于伦敦。1653年作为工读生进入牛津大学学习，担任R.玻意耳的助手，1663年获硕士学位。1665年担任伦敦格雷舍姆学院几何学教授。1663年成为英国皇家学会会员，1677～1683年任学会秘书，并负责出版刊物。虎克协助玻意耳改进了空气泵而使后者得以建立起玻意耳定律，还改进及创新出许多仪器，如钟表的摆轮、毛发湿度计、航海仪器、显微镜与望远镜。1678年首次公布了他的固体弹性定律，即经后人修整作为弹性力学基础的虎克定律。他的《显微图集》首次显示了动植物和矿物的显微结构，并引入了“细胞” 一词；该集中还载有他所观察到的空气薄膜在光照下的彩色环带及其颜色与亮暗的周期变化；集中表明他是光的波动说创导人之一。胡克从1661年开始投入皇家学会专门研讨重力本质的活动，对重力现象进行过一些实验。1679年提出引力的反平方关系。他虽未能以此来解决行星的轨道问题，但这却促进了I.牛顿对万有引力定律的深入研究。在热学方面，虎克断定常压下冰的熔点及水的沸点为固定点，而建议以水的冰点为温度计的零度；他相信热的动力说并较早地观察到矿物晶体的有序排列。虎克涉及的研究领域很广，有燃烧、呼吸、化石、天文观测、地震、海洋、城市建筑设计等方面，他实验技术精湛而物理思想活跃，但受到数学素养与洞察力不足的限制，因此在各方面都未能达到当时的牛顿、C.惠更斯和后来的M.法拉第那样系统深入的理论水平。
虎克是被牛顿的光辉所掩盖了，牛顿说过一句话，“如果说我能看的更远一些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，这句话实际是牛顿给虎克写的一封信里提到的。暗示了虎克是其中的一个巨人。这后来也有过一些好笑的评论，因为虎克实际是个身材矮小，有些驼背的人。甚至有的人借此认为牛顿是在嘲笑虎克。不过无所谓了，他们都是牛人。
在研究噪声的过程中，统计学作出来很大的贡献。K. Pearson在统计学中是个主要人物，事实上被认为是统计学之父。是雷达中常提到的Neyman-Pearson准则中的那个Pearson的老爸。老Pearson和另一位xx的统计学家Fisher有很多争斗。很多人认为Fisher是一个很有才华的人，不过在发表文章等过程中遭到过老Pearson的打压。而后来小Pearson进入统计这个圈子之后又受到过Fisher的攻击等等。其实如果把20世纪前半时期的统计学做一个分划的话，那就是老Pearson时代之后是Fisher时代，之后是Neyman，小Pearson时代。暂不说不好的事情了，回到老Pearson吧，说点具体问题。老Pearson的一个主要兴趣就是人口的迁移问题。因此他考虑了一个随机行走问题，一个人从一个点O开始沿一条直线行走L米，之后他转向任意角度的方向继续沿另一条直线行走L米，重复这个过程N次，求经过N次后这个人离原点O的距离处于R到R+dR之间的概率。这个问题出现在1905年的Nature杂志上。后来，Rayleigh给出了一个大R时的答案。关于随机行走和布朗运动之间的关系貌似归结于Smoluchowski。关于随机行走问题Mark Kac有过重要的解答。他考虑了行走时有推力或受阻力等情况，利用Markov链解决了离散情形，之后利用数学极限方法对应到连续情形，得到了类似于统计物理中的Fokker-Planck类型的方程。另外提一句，Rayleigh是xx的物理学家，在众多学科中都有成果，在声学理论上为后人提供了重要理论基础，提出弹性面波理论，在光学中的瑞利散射和瑞利判据、物性学中的气体密度测量几方面影响也很深远。1904年获诺贝尔物理学奖。Mark Kac则是一个xx数学家。
研究噪声，电子工程师自然功不可没。Rice{jd1}是其中很重要的一个。在贝尔实验室杂志上发表的“Mathematical Analysis of Random Noise”，是现代噪声计算的基础。这篇文章长达162页，涵盖范围很彻底，几乎涉及到了噪声的所有方面。关于电子工程中处理噪声的方式，匹配滤波器算是最为广泛的一种。匹配滤波由Van Fleck 和Middleton提出，并同时被 D. North独立提出。.这种方法是在二战中引入的。匹配滤波器的概念是在某种{zy}的准则下，{zj0}检测器就是已知信号和接收信号进行相关运算。Van Fleck 和Middleton在Harvard Radio Research Laboratory发表这一结果而D. North则是在普林斯顿的RCA实验室公布的。
前面的大牛们对布朗运动作了统计解释，主要是从统计的角度进行研究的。之后这一问题也从更精细的随机过程等数学角度进行了研究。主要的贡献者是Wiener和Perrin.。要理解布朗运动的数学特性，需要先了解一个数学概念：病态函数。病态函数貌似有不同的说法，但肯定包括这里要提到的处处连续而处处不可微的函数。直观上看，函数在某点不连续就表示在那个点有一个结，在这个结点处，函数曲线的切线不能{wy}定义。而处处连续处处却不可微就不容易想象，事实上这种函数首先由数学家Weierstrass构造出一个来。在很多微积分课本上都会有。Weierstrass是个很牛的数学家，有分析学之父之称。小声说一句，据说原来只是个初中老师。其实这种函数刚出现时很多数学家也不能接受，比如Poincaré，Hermite等数学大牛。视其为瘟疫，冠名为病态函数。但这种函数却给Cantor创立集合论做出了贡献。顺便回忆一下集合论，集合论的其中一个观点是无限也是有差别的，集合是否个数相等取决于它们之间是否存在一一映射。比如所有自然数和所有分数的个数是相同的，这利用对角化原则可以严格证明。而[0,1]区间上的所有实数却比所有有理数要多得多。实际上这种观点出来以后也遭到很多数学家的强烈反对。
回顾一下历史。关于函数的光滑性质最初是有欧拉，达朗贝尔等人通过波动方程研究的。比如，如果某个函数是某个波动方程的解，那么它就光滑的。等等结论。而后来傅里叶分析在其中起到重要作用。在傅里叶研究热传导时，波动方程理论已经建立起来。傅里叶用波动方程对物理热传导进行研究，并仔细研究了方程的解的特性。并发展出一套理论。他声称，一个即使存在着跳跃点的函数，在某一闭区间也可能可以用三角级数展开。这在当时被认为是荒谬的，因为三角级数是很美的函数，是任意阶可导的光滑函数。它们在任意点的值都是连续的，因此它们的和就应该是连续的。实际上跳跃点是有其背景的。根据波动方程，其解可以根据固定方法解出。想象一下把两个不同温度的物体放在一起，它们之间的温度会发生什么变化。刚接触时，由于温度不一样，因此会有一个跳跃点。所以热传导方程中解的初始条件是有跳跃点的。而傅里叶分析却可以处理这种跳跃点。这种论点又带来了一个基础的问题：到底什么样的函数可以用傅里叶三角级数展开？Dirichlet首先研究了这个问题。说明了可展开应该满足的条件。并且给出了一个不能用傅里叶展开的函数例子，那就是众所周知的狄利克雷函数：在有理数上取0而在无理数上取1。这时候，人们接受的普遍观念是，对于连续函数，即使上面有几个结点没关系，大部分点是可微的。而后来Weierstrass却用三角函数构造出一个处处连续处处不可微的函数。有的人喜欢它，有的人讨厌它。很多数学家认为这种函数在生活中是不会存在的，比如我们前面提到的大牛人庞加莱。但是随着后来病态函数越来越多，{zh1}还出现了分形几何学。这种观念就慢慢被接受了，而布朗运动则是其中一个典型的例子。它表明：世界上是存在这种病态函数的。
最初认为布朗运动曲线属于处处连续而处处不可微的人是Perrin。前面似乎提到过他证实过爱因斯坦的解释并获得诺贝尔奖。直观上想其实也是合理的，首先，运动曲线肯定是连续的，因为花粉微粒不可能跳跃；其次，运动曲线是不可微的，因为在任意一点，由于随机性的影响，花粉朝向任意方向运动都是可能的，因此任意点都是一个结点。佩兰是个物理学家，他将这些想法告诉了维纳并激励维纳去从数学角度进行研究。维纳对此也很感兴趣。严格地说，前面物理学家的研究，只是探究了任意绐定微粒在一特定时刻内的有序行为，或对许多微粒的长时间的确定统计，而均未涉及单个粒子所遵循的曲线概率的数学性质。1925年，维纳终于利用三角函数提出“维纳测度”，“维纳积分”等概念，在物理和数学史上{dy}次给布朗运动以严格的数学定义，证明了布朗运动的轨道的连续性，揭示了连续而不可微函数的物理特征，布朗运动又称维纳过程。维纳的这项研究是现代概率论的开创性工作。定义在连续函数空间的一种描述布朗运动的测度称为维纳测度，关于这个测度的积分称为维纳积分。后来，日本数学家伊藤清在此基础上发展了随机积分论。
关于噪声，关于布朗运动，关于数学基础，关于电子工程，说得好像没什么条理，不管怎么说，噪声是一个很重要的概念，存在于很多学科之中。回忆一个基本概念的形成过程，有助于认清很多原来觉得模糊的东西。所谓的xx应该就是这个意思吧。