解析几何的发展史

十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

    1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

    笛卡尔的《几何学》共分三卷，{dy}卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

    从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

    为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

    具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：{dy}，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。

    解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。

    在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。

    费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。

    笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。

解析几何的基本内容

    在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。

    坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。

    解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”

解析几何的应用

    解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。

    在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。

    在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

    椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

    总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。

    运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；{zh1}把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。

    坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。

双曲线

【定义】

{dy}定义：

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的{jd1}值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）

第二定义：

面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.

【几何性质】

1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.

B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.

4、渐近线：焦点在x轴：y=±(b/a)x.

　　       焦点在y轴：y=±(a/b)x.

5、离心率：

　　{dy}定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).

　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e

6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）

　　右焦半径：r=│ex-a│

左焦半径：r=│ex+a│

7、弦长公式：

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2

= √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

【例题】：

双曲线例题讲解

1．为了掌握双曲线的定义和两类标准方程而设计的典型例题：

例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1) 焦点在x轴上，实虚轴长之和为28，焦距为20；

(2) 实轴长是 ，且过点M(2，－5)．

分析：(1) 中由a+b=14，c=10解a，b，(2) 中要先判断双曲线的类型，再用待定系数法求b．

答案：(1)      (2) ．

例2．若动圆M恒过定点B (－4，0)，且和定圆(x－4)²+y²=16相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

分析：动圆圆心M满足的条件符合双曲线(左支)的定义．

解：如图2－4－2设动圆M的半径为r，且与定圆C切于T，则：|MB|=|MT|=r；|CT|=4．

∴ |MC|=|MT|+|TC|=r+4，即|MC|－|MB|=4．

∴ 动点M的轨迹是以B、C为焦点，2a=4的双曲线的左支，其轨迹方程为:

(x<0)

2．为掌握和运用双曲线的几何性质而设计的典型例题：

例3．求双曲线9y²－16x²=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程

分析：先求出a、b、c

答案：a=4，b=3，c=5焦点坐标(0，－5)，(0，5)离心率 ，渐近线方程

例4．求适合下列条件的双曲线的标准方程

(1) 与椭圆 有公共焦点且离心率是1.25

(2) 过点P(2，－1)，渐近线方程是y=±3x．

(3) 焦点在x轴上，点P (3.2，2.4)是准线与渐近线的一个交点．

分析：首先要确定所求双曲线的标准类型．(1)、(3)焦点分别在y轴、x轴上，唯有(2)需要进行判定，可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y=－3x的上方还是下方？如图2－4－3，x=2与y=－3x交点为Q(2，－6)，P(2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x轴上．

解：(1) ，由 得a=4，b=3．

∴ 所求双曲线方程为 ．

(2) 方法一：设双曲线方程为 ．依题意，得

解得

∴ 所求双曲线方程为

方法二：由渐近线方程3x±y=0，可设所求双曲线方程为   (λ≠0)  (*)

将点P(2，－1)的坐标代入(*)，得λ=35

∴ 所求的双曲线方程为

(3) P(3.2，2.4)同时在 和 上．则

解得

∴ 所求双曲线方程为

例5．(1) 双曲线的渐近线方程为2x±y=0，则双曲线的离心率等于_____________．

(2) 双曲线4y²－x²－12=0的渐近线与准线所成锐角是_______________．

分析：这是利用双曲线的离心率、渐近线、准线的定义来解的题目．(1) 中要注意有两解的可能．

解：(1) 渐近线方程为y=±2x．

当焦点在x轴上时， ，即 ．求得 ．

当焦点在y轴上时， ，即 ，求得 ．

(2) 渐近线方程为 ．而 与x轴夹角为α， 又准线平行于x轴，所以渐近线与准线所夹锐角为 ．

3．为了掌握和运用双曲线的两个定义而设计的典型例题：

例6．(1) 双曲线的实轴长为2a，过左焦点F₁的弦的两端点A、B均在左支上，且|AB|=m，设F₂为右焦点求△ABF₂的周长l．

(2) 已知双曲线 的右焦点为F，定点A(9，2)，在双曲线上求一点M，使 的值最小．求此最小值并求M点的坐标．

分析：(1)中由A、B两点与两焦点F₁、F₂的连线可以联想到双曲线的{dy}个定义．(2)中设M点到双曲线右准线距离为d．则 ，联想到双曲线的第二定义．

解：(1) 如图2－4－4．

∵ |AF₂|－|AF₁|=2a，|BF₂|－|BF₁|=2a，两式相加，得

|AF₂|+|BF₂|－|AB|=4a，

∴ △ABF的周长l=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=(|AF₂|+|BF₂|－|AB|)+2|AB|=4a+2m．

(2) 如图2－4－5，a=3，b=4，c=5

∵ ，

∴

当M点在由A点向右准线l所作的垂线上时上式有最小值．其最小值为 ，

将y=2代入 得 ．

∴ M点坐标为 ．

椭圆

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。它是的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x^2/a^2+y^2/b^2=1，它还有其他一些表达形式，如表示等等。椭圆在运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点。

椭圆的{dy}定义

　　平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P的轨迹叫做椭圆。

　　即：│PF│+│PF'│=2a

其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。

椭圆的第二定义

　　平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）

　　其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是X=a^2/c)。

　　椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况

[]

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

　　椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：

　　1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

　　2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)

　　其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或和）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,是x=a^2/c和x=-a^2/c

　　又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。

　　椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

　　标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1

椭圆的面积公式

　　S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).

　　或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).

　　椭圆的周长公式

　　没有公式，有积分式或无限项展开式。

　　椭圆周长(L)的xx计算要用到积分或无穷级数的求和。如

　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率

　　的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则

　　e=PF/PL

　　椭圆的准线方程

　　x=±a^2/C

　　椭圆的离心率公式

　　e=c/a(e<1,因为2a>2c)

　　椭圆的 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c

　　椭圆 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0

　　椭圆过右焦点的半径r=a-ex

　　过左焦点的半径r=a+ex

　　椭圆的：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a

　　点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1

　　点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1

　　点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

　　点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1

　　直线与椭圆位置关系

　　y=kx+m ①

　　x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

　　由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1

　　相切△=0

　　相离△＜0无交点

　　相交△＞0 可利用：A(x1,y1) B(x2,y2)

　　|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

　　椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a

　　椭圆的斜率公式　过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y

椭圆参数方程的应用

　　求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为问题求解

　　相关性质

　　由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种。

　　例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的{dy}定义）：

　　将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

　　设两点为F1、F2

　　对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

　　则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

　　由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

　　用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

　　椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

　　-----关于圆锥截线的某些历史：圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又xx的曲缐的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲缐；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运\行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了的新纪元，而且也是的根源所在。由此可见，圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

　　例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

　　（1）求椭圆C的方程.

　　（2）直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的{zd0}值.

　　（3）在（2）的基础上求△AOB的面积.

　　一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1，

　　二 要求面积，显然已ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示{jd1}值）弦长=3√2/2,对于p点面积{zd0}，它到弦的距离应{zd0}，假设已经找到p到弦的距离{zd0}，过p做弦的，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会{zd0}，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),

　　三 直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的3√2/2,面积1/2*3√2/2*3√2/2=9/4,

历史

　　椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）

　　关于圆锥截线的某些历史：圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又xx的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

圆

圆的定义

1、平面上到定点的距离等于定长的所有的点的集合叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2、平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

圆的方程

1、圆的标准方程：

在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

2、圆的一般方程：

把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

圆的图像

圆的相关量

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

圆的性质与定理

1．垂径定理及推论：垂直于弦的直径一平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论：

(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)弦的垂直平分线过圆心,平分弧所对的弧.
(3)平分弦所对的一弧的直径垂直平分弦,且平分弦所对的另一条弧.
2．圆心角、弦、弧、弦心距四者关系定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推论:同圆或等圆中，若两个圆心角，两条弧,两条弦或其弦心距中有一组量相等,那么其余各组量分别对应相等.
3．圆周角定理及其推论：弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论:

(1)同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等
(2)半圆或直径所对的圆周角是直角,900 的圆周角所对的弦是直径.
(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
4．不在同一直线上的三点确定一个圆。
5．圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。
6．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

圆的有关计算

1．圆周长：圆的周长C与半径R之间有如下关系：

C=2πR （π≈3.1415926535……）

2．弧长：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l计算公式：

3．圆面积：圆面积S和半径之间的关系：

4．扇形面积：半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积为

圆的位置关系

1、点与圆的位置关系：

以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），

P在⊙O外，PO＞r；

P在⊙O上，PO＝r；

P在⊙O内，PO＜r。

2、直线与圆的位置关系：

无公共点为相离；

有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；

圆与直线有{wy}公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个{wy}的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：

AB与⊙O相离，PO＞r；

AB与⊙O相切，PO＝r；

AB与⊙O相交，PO＜r。

3、圆与圆的位置关系：

无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫；

有{wy}公共点的，一圆在另一圆之外叫，在之内叫；

有两个公共点的叫。

两圆圆心之间的距离叫做，两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：

外离P＞R+r；

外切P=R+r；

相交R-r＜P＜R+r；

内切P=R-r；

内含P＜R-r。

圆的例题

例1、直线 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是（　　）

A．直线过圆心

B．直线与圆相交，但不过圆心

C．直线与圆相切

D．直线与圆没有公共点

分析：

　　直线 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线方程如何求？这是{dy}步，求出旋转后的直线方程后，转变成判断一直线与圆的位置关系问题．

解答：

　　∵直线 的倾斜角为30°，∴按逆时针方向旋转30°后，得直线的倾斜角为60°，

　　∴旋转后的直线方程为

　　圆心（2，0）到直线 的距离为

　　∴直线与圆相切，故选C．

例2、过定点A（a，b）任作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

分析：

　　求轨迹方程，要充分挖掘图形的几何性质，根据曲线上的点所适合的条件列出等式．此题的切入口是用好条件AM⊥AN，可以根据两直线垂直且斜率存在，则它们的斜率之积为－1建立方程，也可以根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半建立方程，还可以利用勾股定理建立方程．

解法1：

　　如图，设P（x，y），则M（2x，0），N（0，2y）．

　　因为AM⊥AN，则有kAM·kAN=－1，即 ，

　　整理得2ax＋2by－a2－b2=0．①

　　当AM⊥x轴时，kAM不存在，此时P点为 ，坐标满足方程①，

　　因此，方程①就是所求的轨迹方程．（注：垂直如用向量处理则无需讨论）

解法2：

　　设P（x，y），由题意可得M（2x，0），N（0，2y）．

　　∵△AMN是直角三角形，AP为斜边MN上的中线．

　　∴|MN|=2|AP|，即 ，

　　化简得2ax＋2by－a2－b2=0．

解法3：

　　设P（x，y），由题意可得M（2x，0），N（0，2y）．

　　∵△AMN是直角三角形，由勾股定理得|AM|2＋|AN|2=|MN|2，

　　即(2x－a)2＋b2＋a2＋(2y－b)2=(2x)2+(2y)2，

　　化简得2ax＋2by－a2－b2=0.

解法4：

　　设P（x，y），连OP．

　　由△OMN为直角三角形知 ，

　　又 ，∴|OP|=|AP|，

　　即 ，

　　平方化简得2ax＋2by－a2－b2=0．

解法5：

　　当AM⊥x轴时，

　　当AM x轴时，直线AM：y－b=k（x－a）∴M ，

　　直线AN： ．

　　设P（x，y），则

　　则 ．

　　又 也符合上式，故P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2=0．

小结：

　　解法1通常称为直接法，即根据已知条件直接列出方程．解法2、3、4是运用直角三角形的性质，得出线段长之间的关系，这种方法称为几何法．解法5利用x、y与k的关系求出方程，通常称为参数法．

例3、如果实数x，y满足x2-y2-4x+1=0，求：

　　（1） 的{zd0}值；

　　（2）y-x的最小值．

分析：

　　x2+y2-4x+1=0 表示以（2，0）为圆心，半径为 的圆， 表示点（x,y）与原点连线的斜率．问题（1）实质是求圆上的点与原点的连线的斜率的{zd0}值．问题（2）中， 设y-x=b，则y=x+b，可知b是斜率为1的直线在y轴上的截距，于是问题（2）实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值．

解答：

　　（1）设 得y=kx,所以k为过原点的直线的斜率，又x2+y2-4x+1=0表示以（2，0）为圆心，半径为 的圆，如图：

　　当直线y=kx与已知圆相切且切点在{dy}象限时，k{zd0}，此时：

　　|OP|= ， |OC|=2，

　　∴Rt△POC中，∠POC=60°，k=tan60°= ，

　　∴ 的{zd0}值为 ．

　　（2）设y-x=b，即为直线y=x+b,b为直线在y轴上的截距，如图所示．

　　当直线y=x+b与圆有公共点时，当且仅当与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时，圆心（2，0）到直线的距离为 ，

抛物线

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成图像。

 1.定义

　　平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。

　　定义焦点到抛物线的准线的距离为"",用p表示.p>0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程

　　右开口抛物线:y^2=2px

　　左开口抛物线:y^2=—2px

　　上开口抛物线:x^2=2py

　　下开口抛物线:x^2=—2py

　　p为焦准距（p>0）

　　抛物线的标准方程有四个：

　　（开口向右）；

　　（开口向左）；

　　（开口向上）；

　　（开口向下）；

　　在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2； 在抛物线y^2=—2px 中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2； 在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2； 在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；

抛物线

3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

　　离心率:e=1

　　焦点:(p/2,0)

　　l:x=-p/2

　　顶点:(0,0)

　　(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P

　　定义域（X≥0）

值域（Y∈R)

4.它的解析式求法：

　　以焦点在X轴上为例

　　知道P（x0,y0)

　　令所求为y^2=2px

　　则有y0^2=2px0

　　∴2p=y0^2/x0

∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x

5.抛物线的光学性质:

经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。

6.抛物线的一段的面积和弧长公式

面积 Area=2ab/3

　　弧长 Arc length ABC

=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

7.其他

　　抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)

　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

　　a > 0时开口向上

　　a < 0时开口向下

　　c = 0时抛物线经过原点

　　b = 0时抛物线对称轴为y轴

　　还有y = a（x-h）^2 + k

　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

　　h是顶点坐标的x

　　k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是&nbsp;：yy0=p(x+x0)

　　一般用于求{zd0}值与最小值

　　抛物线标准方程:y^2=2px

　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

8.用抛物线的对称性解题

　　我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

　　例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

　　分析　设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。

　　∴y = -（x+1）（x-3），即

　　y = - x2 + 2x +3。

　　例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。

　　分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。

　　由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。

　　∴y = -（x-1）2+ 6，即

　　y = - x2 + 2x +5。

　　∴当x =0时，y = 5。

　　例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。

　　分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。

　　∵点（1，0）在抛物线上，

　　∴4a + 4 = 0。∴a = -1。

　　∴y = -（x+1）2+ 4，即

　　y = - x2 - 2x +3。

　　∴点C的坐标为（0，3）。

　　∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。

　　例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。

　　分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。

　　∵点（-1，0）在抛物线上，

　　∴4a + 4 = 0。故a = -1。

　　∴y = -（x-1）2+ 4，即

　　y = - x2 + 2x +3。

　　∴点B的坐标为（0，3）。

连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9

9.关于抛物线的相关结论

　　过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有

　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2

　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]

　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P

　　④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

　　⑤：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

　　⑥：AB=x1+x2+p

　　⑦△=b^2-4ac

　　⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根

　　⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

　　⑶△=b^2-4ac<0没实数根

　　⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

10.利用抛物线的定义解题

　　例：已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

　　解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：

　　|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

　　所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1

　　故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）