上面两种方法的缺点是通带截止频率 和阻带截止频率 不能xx控制。为了在固定M时能控制 和 ，必须使 变化。实际上也就是固定了M、 和 ，求出三角多项式的系数 使 达到最小。这一逼近问题也就是所谓的切比雪夫逼近。

定义逼近误差函数：

为在要求的滤波器的通带和阻带内计算的误差值， 是权函数，例如，如果希望在固定M、 和 的情况下逼近一个低通滤波器，这时有

这样选择 后，就规定了通带和阻带逼近误差间的相对大小关系，这就是说，k应等于要求的比值 ，这种情况下，要求

将k= 代入 ，也就是要求 ，当然也可重新选择 ，使 。

逼近理论中的交替定理可用于求解切比雪夫逼近问题。

交替定理：（也称{zj0}逼近定理）

令F表示闭子区间 任意闭子集，为了使H(e^jω)在F上{wy}{zj0}地逼近于H_d(e^jω)，其充分必要条件是误差函数E(ω)在F上至少应有（M+2）次“交替”，即E(ω_i)= -E(ω_i-1)=max[E(ω)]。

借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间 和 。因为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误差容限时的频率。

   根据前面的讨论， 在开区间 内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令 的约束条件为 ，，再加上 和π处的极值，误差曲线最多有M+1个极值频率（交替）满足定理。