这是一个非常有趣的问题: 有两个信封中写着两个不同的实数, 某人以相等的概率随机取一个信封给你看其中的那个实数, 设为A, 然后让你猜另外一个信封中的实数是比这个实数A更大还是更小. 问题是, 能否有一个猜测的策略, 使得你猜对的概率大于50%.
这个问题感觉很另人说不出滋味, 说不出个所以然来, 也就是很另人无语. 因为另外一个实数在这个实数A两侧, 似乎有一样的可能, 因此无论怎么猜都应该不会有50%以上的可能猜对啊. 现在回想, {dy}次听到这个问题的时候似乎是在概率论的课上随便提到了一下, 当时竟然以为老师说错了这个问题. 不过今天再次碰到这个问题, 看了答案之后不得不佩服答案的巧妙.
假设较小的实数为A, 设函数
. 注意对于任意实数x, f(x)都在0到1之间, 并且f(x)是单调递增的. 现在请以f(x)的概率猜测另外一个实数比看到的实数更小, 其中x是你看到的实数. 现在我们来计算你的猜测是正确的概率, 假设另外一个较大的实数是B,?那么p = 50% * (1-f(A)) + 50% * f(B), 由于A<B, 因此f(A)<f(B), 所以p>50%.
我认为这个解答的巧妙之处在于把”猜测”这个动作也用概率化, 引入了f(x)这样一个单调连续递增的, 值域为(0,1)的函数. 总之, 太奇妙, 太厉害了. 接着可以继续看一下关于的一些历史和变形.
来源: http://blog.xkcd.com/2010/02/09/math-puzzle/
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