这篇文章的思想源于潘李亮的《3D变换中法向量变换矩阵的推导》一文。

其实也就是看了篇文章后才知道，原来法向量的变换矩阵与定点的变换矩阵是不一样的。而《DirectX 9.0 3D游戏开发编程基础》这本书的作者视乎也忽略了这点（此书的p306贴出的代码部分，是将顶点的变换矩阵直接用作法向量的变换矩阵）。正如《3D变换中法向量变换矩阵的推导》一文{zh1}所说的，“即使你看到了所谓的正确的结果，那也是近似正确的，至少在理论上，它就是不正确的^_^。”

为什么法向量不能利用顶点变换矩阵来进行变换呢？可以从一个例子中看出来：

三维平面: x + y = k 法线n =[1 1 0]
x方向放大 2倍,相应的变换矩阵:

      |2 0 0 0 |
A= |0 1 0 0 |
      |0 0 1 0 |
      |0 0 0 1 |
n*A=[2 1 0]

其中*表示矩阵相乘。

可以看出，变换后的法线不再与面垂直了。

那法向量的变换矩阵是什么呢？这个推导过程很简单。

下面的式子本是源自于《3D 变换中法向量变换矩阵的推导 》一文，为了方便表示，进行了一些改动：

P1，P2：世界坐标系中的点

Q1，Q2：P1、P2变换到视图坐标系中的点

N：是P1、P2所在平面的法向量

M：是视图空间中，N所对应的法向量

Mv：变换矩阵

世界坐标系中，P1、P2点组成的向量与法向量N垂直：        （1） N*(P1-P2)'=0
同样，视图空间中，Q1，Q2点组成的向量与法向量M垂直：（2）M*(Q1-Q2)'=0
将世界坐标系中P1、P2变换到视图空间中Q1、Q2点：        （3）Mv*P1'-Mv*P2'=Mv*(P1-P2)'=(Q1-Q2)'

其中，'表示转置，*表示矩阵乘。将向量相乘写成矩阵相乘的形式，而且这里是利用的矩阵左乘来进行坐标变换，要注意DirectX中是利用的矩阵右乘来进行坐标变换的，请注意区别。

式子（3）中：(Q1-Q2)'=Mv(P1-P2)'带入（2）式后：（4）M*Mv*(P1-P2)'=0。

比较（1）、（4）后得到：（5）N=M*Mv

注：这里我只能说比较（1）、（4）得到，因为从线性代数角度这两个式子推不出式子(5)，我也希望大家能够给出更合理的说法和推导过程。

（5）N=M*Mv=>（6）M=N*IN(Mv)。其中IN(Mv)表示Mv的逆矩阵。

所以

（6）M=N*IN(Mv)=>（7）M'=( IN(Mv) )'*N'。

由式子（7）得到：法向量的变换矩阵为“顶点变换矩阵的逆矩阵的转置”。

从线性代数角度，“矩阵的逆矩阵的转置”与“矩阵的转置再求逆”是相等的，因此也可以说成：“顶点变换矩阵转置后的逆矩阵”。

恭喜你，读到这里，你已经掌握了法向量的变换矩阵的推导。也许你有点担心，DirectX中是利用矩阵右乘进行变换的，那么，到底法向量的变换矩阵是不是也一样呢？其实，你可以自己推导了。而且我刚刚用上面的方法粗略的推了下，结果应该是一样的。