1801年1月，天文学家Giuseppe Piazzi发现了一颗从未见过的小行星。据说刚发现不久，他就病倒了，等病好时，已过了几个月，那颗小行星却怎么也找不到了。当时有名的天文学家都加入了对这颗小行星的寻找，却徒劳无获。 1801年9月，高斯决定用数学方法寻找这颗小行星的踪迹。3个月后，高斯宣称已预测出该小行星的轨道。天文学家在高斯指出的位置，果然再次发现了它。这颗小行星后来被命名为谷神星（Ceres）。高斯因为此事名声大震，但他却拒绝透露计算小行星轨道的办法；8年后，直到高斯系统地完善了相关的数学理论，才将他的方法公布于众，这就是“最小二乘法”（Least squares method）。 最小二乘法普遍用于回归分析，例如根据以往观察到的行星位置，预测它的运行轨道。最小二乘法跟矩阵理论有着某种神秘的联系。 若A为m×n的矩阵，b为m×1的矩阵，则Ax=b表达了一个线性方程组，它的normal equation的形式为ATAx=ATb。 当Ax=b有解时（即矩阵[A|b]的秩与A的秩相同），Ax=b与ATAx=ATb的解集是一样。 而当Ax=b无解时，ATAx=ATb仍然有解，其解集即最小二乘解（least squares solution），即使得(Ax-b)T(Ax-b)的值最小的解，可以理解为使方程组Ax=b近似成立且误差最小的解。normal equation的这个性质令人惊叹。 |
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