细品“多大的镜子能看到自己”

也许你是个爱漂亮的孩子，那么你便一定免不了要照镜子。镜子——一块普通的平面镜，却又为什么能在其中看到自己呢？或许你知道。有时为什么只能看到自己的头，有时又能看到全身呢？可能你也知道。但问有多大的镜子中才能看见全身呢？这，你应该就不了解了！

梳洗间，猛然看见前方那块镜中的自己，脑中忽然闪过了这么多的问题。又想到上次买鞋时，想要看看鞋是否穿着漂亮时，服务员总会引你去一块斜放在地上的平面镜前，在平面镜前，你不难发现，你能看见的也就只是你的脚！这只是因为镜子太小了吗？一切又如何解释？多大的镜子才能看到全身？

一、平面镜成像原理：

平面镜为什么能成像呢？在科学课中，我们能知道，平面镜成像是因为光的反射。人体反射的太阳光在平面镜上发生镜面反射进入了人体的眼球，在脑中形成了一个虚像，就像是平面镜里有个“镜中人”一般。这便是镜面成像的原因。那么，我们需要多大的镜面才能看到整个自己呢？想到这，鞋店平面镜的坡度又给了我启示：这该分成两种情况考虑了——直放和斜放。那其大小各为多少呢？我进行了分类讨论。

二、直放平面镜：

首先，毫无头绪的我决定进行实际测量，如右图1，若AB为一个人（A为眼睛），MN为一面平面镜，AB与MN都垂直BB′，根据平面镜成像规律，过点A作AC⊥MN，并延长AC，再AC的延长线上取CA′＝AC.则点A′就为点A再平面镜中成的像。同理作B点再平面镜中成的像B′，连结A′B′，则A′B′就为AB在平面镜中成的像，连结AB′交MN于点P，那么实际使用CP这一段平面镜就可以成AB的像。图1中，AB＝1.5cm。随后我又测量了CP的长，约为0.75cm，不难惊奇发现，CP＝ AB，这是真的还是偶然？我又画了几个图，结果皆为如此，这是为什么？原来，这CP便是三角形的中位线！如图1，根据平面镜成像规律，可知，AC＝A′C，∵MN⊥BB′， A′B′⊥BB′.∴MN∥A′B′，则在△AB′A′中，MN∥A′B′

∴△AB′A′∽△APC ∴ ＝ ＝ ∴CP＝  A′B′＝ AB。

由上可得，直放时，平面镜长度是人身高的一半高度，那平面镜的宽度呢？此时，思路一下子就断了，这该如何去研究？我去寻求了同学的帮助。

在讨论中我们发现，要想在镜中看到自己的全部，就可归结为是否看见人的最宽部位肩部，而人又有两只眼睛，那么：

如右图2，一个人在照镜子，人站在镜子前，A、B为人的眼睛，在平面镜“外”，E、F为人得肩部在平面镜成的像，即在平面镜“内”。连结AE、BF交平面镜于点C、D，即点C、D在平面镜“上”，可知只需要 CD那么宽的镜子就可成肩部的像。如何求得CD长呢？由平面镜成像规律和实际情况可以知道，AB∥CD∥EF，AE＝BF，AC＝ AE，BD＝ BF，则该四边形为等腰梯形，CD为等腰梯形ABEF的中位线∴CD＝  也就是说，在平面镜直放时，平面镜宽度为人双眼间距离和两肩间距离的和的一半时就可以成人的全像。

经过上述的研究于讨论，我们能发现，当想在竖直摆放的平面镜中观察到全身的像时，平面镜的大小应该定为：

长＝ ×人的身高

宽＝ ×（人的双眼间距离+两肩间距离）

三、斜放平面镜：

图3

在图3中，三个不同角度40°、80°、120°倾角的平面镜分别成同一高度的1.5cm的AB、CD、EF三个像，所需平面镜长度分别为P₁N₁、P₂N₂、P₃N₃ 经过测量，测得P₁N₁ ＝0.68cm；P₂N₂＝0.80cm；P₃N₃ ＝0.38cm。可见，平面镜的倾角不同，所需要的平面镜长度也不同，对此，我想寻求这倾角与所需平面镜长度的关系，如何寻求呢？当然好像依靠我目前的能力无法通过理论来实现这个目标，于是我决定用一个最土却xxx的方法，那就是画出各种情况，进行测量，把他们再描到同一个坐标轴上，根据这各个点连线的图像情况，说不定就有一个意想不到的收获。然后，我便准确画出并测量了所需的数据，列出下表来：

表1. 长1.5cm的实物在平面镜中成全像所需镜长与平面镜倾角的关系表

根据上述描点，我们发现，各点之间的连线形如一条抛物线，那么我便认为他们之间的关系

存在二次函数。设该抛物线的函数解析式为：y＝ +bx+c得：

  解得：

∴这条抛物线的函数解析式大致为：y＝ x + x+0.024

这便是平面镜斜放时，在镜中看见全身所需镜长与平面镜的倾角的函数关系。但回想全过程，

y＝ x + x+0.024的关系只在物长为1.5cm时适用，那是否适用于任何长度呢？显然这是不同，那这之间又是否存在一定关系呢？我将40°倾角的平面镜前加了不同的高度，进行研究，如图：

   作AD⊥DO，取AD＝3cm，BD＝2cm，CD＝1cm.画一个倾角为40°的平面镜，并画出它们的像，分别为A′D′、B′D′、C′D′。则可测量出它们各自成像所需平面镜长度：AD所需长为1.59cm，BD所需长为1.03cm，CD所需长为0.51cm。似这其中的确存在某种关系，但我无法保证，于是我又准确画出并测量了少许情况，列表如下：

表2：不同长的实物在倾角为40°的平面镜中成全像所需镜长关系表

  这里似乎看不出什么，于是我将他们描在了同一坐标轴上：

在图中，我们可以看出在该图中，各个点连线形状类似于一条直线，若排去误差，则可看作其为一条直线，即他们之间存在一次函数的关系，设该图象的函数解析式为y＝kx+b，把x＝2.5，y＝1.32和x＝3，y＝1.59代入y＝kx+b得：

   解得：

∴该图像的函数的关系，设该图象的函数解析式大致为y＝ x﹣0.03

所以平面镜斜放时，平面镜长度与人长或平面镜斜角有关。那宽呢，细细一想，斜放时宽度应与直放时相同。

所以若想在斜放的平面镜中看到全身所需平面镜大小为：

      ＝ x﹣0.03                   (倾角相等，物长为x 厘米)

宽＝ ×(人的双眼间距离+两肩间距离)

四、总结与感想：

上述便是物体在直放与斜放的平面镜中成全像所需平面镜的大小。通过在上面的种种探究中，我们不难发现，虽然仅仅是一个照镜子的简单问题，看似简单，且频繁地发生在我们的生活中，但却包含着如此之多的情况与数据知识。

 多大的镜子能看见自己？直放时和斜放时有着全然不同的解释，是的，情况有所不同，自然结果也就不同，多角度的观察才能更好解析问题，正如：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”正确仔细地分解问题才会有更大的硕果，也许有时这条路是困难，但这必然是甜。看清自己的镜子只有这几种情况吗？不然，或许也和人的视角有关，人镜间距离有关，这点钻研只是渺小的，需要更多的剖析！这便需要更多的角度，更开放的思维，更刻苦的坚持！

    多大的镜能看见自己？那怎样的自己才能看清镜子？

2008年10月16日