向量内积与正交性：

定义：设a=(a1，a2……an)' b=(b1，b2……bn)'，记(a,b)=a1b1+a2b2+……+anbn=∑ab，称(a,b)为向量a与b的内积。

内积性质：

①非负性(a,a)≥0，当且仅当a=0时等号成立

②对称性(a,b)=(b,a)

③线性性(a+b,c)=(a,c)+(b,c)，(ka,b)=k(a,b)

设a=(a1,a2,……an)'∈R，称各分向量的平方和的平方根为向量a的长度（或范数），记作||a||。

范数性质：

①非负性||a||≥0，当且仅当a=0时，等号成立

②齐次性||ka||=|k|||a||，k∈R

③满足三角不等式||a+b||≤||a||+||b||

定义：称长度为1的向量为单位向量。

向量内积满足柯西——许瓦兹不等式：(a,b)平方≤||a||平方·||b||平方

定义：当a,b都为非零向量时，称θ=arccos{(a,b)\(||a||·||b||)} (0≤θ≤π)为a与b的夹角，记作<a,b>。

标准正交基：

定义：若响亮a与b的内积为零，即(a,b)=0，则称a与b正交（零向量与任意向量正交）。

定义：如果向量组a1、a2……am两两正交且不含零向量，则称a1、a2……am为正交向量组。

定理：正交向量组a1、a2……am一定线性无关（反之不成立）。

定义：设a1、a2……as是n维向量空间Rn的正交向量组，且||ai||=1(i=1,2,……s)，则称a1，a2，……as为标准正交向量组，若s=n，则称a1,a2……an为Rn的一组标准正交基。

正交矩阵与正交变换：

如果n阶矩阵A满足A'A=E，则称A为正交矩阵，简称正交阵，有如下性质：

①若A是正交矩阵，则A的转置阵与A的逆阵相等，且它们也都是正交矩阵

②|A|=1或|A|=-1

③若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶正交矩阵

④A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组。