二叉检索树

　　Copyright 2002 by Zhang Ming, PKUCS
　　1. 定义及性质
　　n二叉检索树或者是一颗空树;或者是具
　　有下列性质的二叉树:对于任何一个结
　　点,设其值为K,则该结点的左子树(若
　　不空)的任意一个结点的值都小于K;该
　　结点的右子树(若不空)的任意一个结点
　　的值都大于或等于K;而且它的左右子树
　　也分别为二叉检索树.
　　n二叉检索树的性质: 按照中序周游将各结
　　点打印出来,将得到按照由小到大的排
　　列.
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　　BST图示
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　　检索
　　n二叉检索树的效率就在于只需检索二个子树
　　之一.
　　-从根结点开始,在二叉检索树中检索值K.如果
　　根结点储存的值为K,则检索结束.
　　-如果K小于根结点的值,则只需检索左子树
　　-如果K大于根结点的值,就只检索右子树
　　n这个过程一直持续到K被找到或者我们遇上
　　了一个树叶.
　　n如果遇上树叶仍没有发现K,那么K就不在该
　　二叉检索树中.
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　　2. 二叉检索树类定义
　　// BSTimplementation for the Dictionary ADT
　　template
　　class BST : public Dictionary {
　　private:
　　BinNode* root; // Root of the BST
　　intnodecount; // Number of nodes in the BST
　　// Private "helper" functions
　　void clearhelp(BinNode*);
　　BinNode* inserthelp(BinNode*, const Elem&);
　　BinNode* deletemin(BinNode*,
　　BinNode*&);
　　BinNode* removehelp(BinNode*, const Key&,
　　BinNode*&);
　　boolfindhelp(BinNode*, const Key&, Elem&) const;
　　void printhelp(BinNode*, int) const;
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　　public:
　　BST() { root = NULL; nodecount= 0; } // Constructor
　　~BST() { clearhelp(root); } // Destructor
　　void clear()
　　{ clearhelp(root); root = NULL; nodecount= 0; }
　　boolinsert(constElem& e) {
　　root = inserthelp(root, e);
　　nodecount++; return true;
　　}
　　boolremove(constKey& K, Elem& e) {
　　BinNode* t = NULL;
　　root = removehelp(root, K, t);
　　if (t == NULL) return false; // Nothing found
　　e = t->val(); nodecount--;
　　delete t;
　　return true;
　　}
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　　boolremoveAny(Elem& e) { // Delete min value
　　if (root == NULL) return false; // Empty tree
　　BinNode* t;
　　root = deletemin(root, t);
　　e = t->val();
　　delete t;
　　nodecount--;
　　return true;
　　}
　　boolfind(constKey& K, Elem& e) const
　　{ return findhelp(root, K, e); }
　　intsize() { return nodecount; }
　　void print() const {
　　if (root == NULL) cout<< "The BST is empty.\n";
　　else printhelp(root, 0);
　　}
　　};
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　　3. 二叉检索树的实现
　　n插入中包含检索(可以重码)
　　boolinsert(constElem& e) {
　　root = inserthelp(root, e);
　　nodecount++; return true;
　　}
　　nInserthelp的实现
　　template
　　BinNode* BST::
　　inserthelp(BinNode* subroot, const Elem& val) {
　　if (subroot== NULL) // Empty tree: create node
　　return (new BinNodePtr(val, NULL, NULL));
　　if (EEComp::lt(val, subroot->val())) // Insert on left
　　subroot->setLeft(inserthelp(subroot->left(), val));
　　else subroot->setRight(inserthelp(subroot->right(), val));
　　return subroot; // Return subtreewith node inserted
　　}
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　　BST插入图示
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　　检索
　　template
　　boolBST:: findhelp(
　　BinNode* subroot, const Key& K, Elem&
　　e) const {
　　if (subroot== NULL) return false; // Empty tree
　　else if (KEComp::lt(K, subroot->val())) // Check left
　　return findhelp(subroot->left(), K, e);
　　else if (KEComp::gt(K, subroot->val())) //Check right
　　return findhelp(subroot->right(), K, e);
　　else { e = subroot->val(); return true; } // Found it
　　}
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　　打印
　　template
　　void BST::
　　printhelp(BinNode* subroot, intlevel) const {
　　if (subroot== NULL) return; // Empty tree
　　printhelp(subroot->left(), level+1); //Do left subtree
　　for (inti=0; icout<< " ";
　　cout}
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　　4. 二叉检索树结点的删除
　　n对于二叉检索树,删除一个结点,相当
　　于删除有序序列中的一个记录,要求删
　　除后能保持二叉检索树的排序特性,并
　　且树高变化较小.
　　(1)找到值为val的结点rt
　　(2)rt为叶,可以直接删除
　　(3)rt左空或右空,可以让它的右子树或
　　左子树直接代替原rt
　　(4)rt左右都不空,可以让右子树中的最
　　小值代替原rt
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　　删除子树中最小值图示
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　　删除右子树中最小值结点
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　　删除rt子树中最小结点
　　template
　　BinNode* BST::
　　deletemin(BinNode* subroot,
　　BinNode*& min) {
　　if (subroot->left() == NULL) { // Found min
　　min = subroot;
　　return subroot->right();
　　}
　　else { // Continue left
　　subroot->setLeft(deletemin(subroot->left(), min));
　　return subroot;
　　}
　　}
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　　删除值为val的结点
　　template
　　BinNode* BST::
　　removehelp(BinNode* subroot, const Key& K,
　　BinNode*& t) {
　　if (subroot== NULL) return NULL; // Val is not in tree
　　else if (KEComp::lt(K, subroot->val())) // Check left
　　subroot->setLeft(removehelp(subroot->left(), K, t));
　　else if (KEComp::gt(K, subroot->val())) // Check right
　　subroot->setRight(removehelp(subroot->right(), K, t));
　　else { // Found it: remove it
　　BinNode* temp;
　　t = subroot;
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　　if (subroot->left() == NULL) // Only a right child
　　subroot= subroot->right(); // so point to right
　　else if (subroot->right() == NULL) // Only a left child
　　subroot= subroot->left(); // so point to left
　　else { // Both children are non-empty
　　subroot->setRight(deletemin(subroot->right(), temp));
　　Elemte= subroot->val();
　　subroot->setVal(temp->val());
　　temp->setVal(te);
　　t = temp;
　　}
　　}
　　return subroot;
　　}
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　　删除值为val的结点(续)
　　else { // Found it: remove it
　　BinNode* temp = rt;
　　if (rt->left == NULL)
　　rt= rt->right;
　　else if (rt->right == NULL)
　　rt= rt->left;
　　else {
　　temp = deletemin(rt->right);
　　rt->setValue(temp->value()); }
　　delete temp;
　　} }
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　　讨论
　　n所有操作都围绕BST的性质,并一定要保
　　持这个性质
　　n用非递归算法实现插入,检索,删除
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　　讨论(续)
　　n允许有重复关键码
　　时(右子树)
　　-重复关键码应该有
　　规律地出现
　　-插入,检索,删除
　　都考虑这个特点.
　　尤其是删除,必须
　　删右子树中最小(
　　如果有重复,将是
　　值与被删根结点相
　　同的结点,因此能
　　保持性质)