第7章滤波器设计方法
•7.0引言
•7.1由连续时间滤波器设计离散时间IIR
滤波器
•7.2用窗函数法设计FIR滤波器
•7.3IIR系统的基本结构
•7.4FIR滤波器的{zj0}逼近
•7.6IIR和FIR滤波器的评价
7.0引言
•选频滤波器
—能让某些频率分量通过，而xx拒绝其他
频率分量的系统。
•广义滤波器
—任何能对频率进行修正的系统。
•Æ我们需要的线性时不变的因果系统。
•滤波器的设计步骤：
–给出系统的性能指标；
–用一个离散的时间系统逼近这些性能指标；
–实现该系统。
•Æ一般我们利用数字计算的方法实现系
统，所以，将该离散时间滤波器称为数字
滤波器。
•滤波器的指标往往是以频域的形式给出的，尤
其是低通、带通、高通和带阻这些选频滤波器。
•如图所示的一个线性时不变离散系统，如果输
入是带限的，且采样率满足奈奎斯特采样率，
这系统是一个线性时不变的连续系统。
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>Ω
<Ω
=Ω
Ω
T
TeH
jH
Tj
eff
/,0
/),(
)(
π
π
T
T
jHeHeff
j<=ω
ωω),()(
)(txc][nx
T
)(tyr
][ny
T
例7.1离散时间滤波器指标的确定
s
ΩP
Ω
Ω
0
11δ−
11δ+
2
δ
T/π
)(ΩjHeff
通带过渡带阻带
ω
π
通带过渡带阻带
s
ωp
ω
)(ωjeH
2
δ
0
11δ−
11δ+
•通带
–宽度
•阻带
–宽度
•过渡带
•容限图
•相位除了隐含的稳定性、因果性外没有其
他限制。
•滤波器设计分为：IIR和FIR两大类
()p
jeHωωδδω≤+≤≤−),1()(111
.,)(2
πωωδω≤≤≤
s
jeH
7.1由连续时间滤波器设计离散时间

IIR滤波器
•原因：
–连续时间IIR滤波器设计方法已经成熟。
–许多有用的连续时间IIR滤波器设计方法有比
较简单完整的设计公式。
•但是将连续时间IIR滤波器设计方法直接用
于离散时间IIR滤波器并不能得到简单的设
计公式。
•主要方法有冲击响应不变法、双线性变换法。
•注意有连续时间系统的S平面到Z平面的变
换关系。
–虚轴Æ单位圆
–收敛于左平面Æ单位圆内
Ωj
σ
s-plane
)Im(z
)Re(z
Unitcircle
z-plane
One-to-One
transformation
z
sT
sT
=
−
+
)2/(1
)2/(1
7.1.1冲击响应不变法
•变换原理
h(n)为DF的单位冲激响应序列，

为AF的冲
激响应，冲激响应不变法就是使h(n)正好等于
的抽样值，即
则
采样系统有可能产生频谱混叠。
)(thc
)(thc
)(][dcdnThTnh=
∑
∞
−∞=
+=
kdd
C
jk
T
j
T
jHeH)
2
()(
πωω
,/,0)(TjHc
π≥Ω=Ω
πω
ωω≤=),()(
d
C
j
T
jHeH
•拉氏变换
上式表明，先沿虚轴作周期延拓，再经过映射
关系映射到Z平面。
∑
∞
−∞=
=
−=
k
aeZ
k
T
jSH
T
zHST)
2
(
1
)(
π
σ
Ωj
s-plane
)Im(z
)Re(z
Unitcircle
z-plane
Many-to-One
transformation
zesT=
T/3π−
T/π−
T/π
T/3π
根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频
率以内时，即
才能使DF在折叠频率

内重现AF的频响，而不产
生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不
是严格带限的，就会产生混迭失真，如下图
2T
,0)j(HS
a
Ω
=
π
≥Ω=Ω
π
0ω
)T/j(Ha
ω
ππ−
ωπ−2π2
•混叠问题
•设计步骤
–首先利用
将离散时间滤波器的指标转化为连续时间滤波器的
技术指标。即如果产生的混叠可以忽略，我们可以
利用下式
设计连续系统。
–再将其转换为离散域。即利用
•这时采样参数Td不能控制混叠。
–这是由于若采样率增加，连续时间系统的截至频率
必须成比例的增加。
–解决方法，设计连续系统时，超标设计，尤其时阻
带指标。
πω
ωω≤=),()(
d
C
j
T
jHeH
dT/ω=Ω
∑
∞
−∞=
+=
kdd
C
jk
T
j
T
jHeH)
2
()(
πωω
•S平面

z平面
•Sk极点

eSkTd
•稳定SkRe<0eSkTd幅度<1稳定
•设计并不是S到Z的简单映射
–注意，离散时间系统中的零点时部分分式展
开中的极点和TdAk的函数。
∑
=−
=
N
kk
s
css
A
sH
1
.)(
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
∑
=
,0,0
0,
)(1
t
teA
th
N
K
ts
k
c
k
∑∑
==
===
N
k
nTs
kd
N
K
nTs
kddcdnueATnueATnThTnhdkdk
11
].[)(][)(][
∑
=
−−
=
N
k
Ts
kd
ze
AT
zH
dk
1
1
.
1
)(
例7.2设计模拟的巴特沃兹滤波器
•离散时间滤波器的技术指标
•连续时间滤波器的技术指标
,2.00πω≤≤
.1)(89125.0≤≤ωjeH,2.00πω≤≤
,17783.0)(≤ωjeH.3.0πωπ≤≤
,1)(89125.0≤Ω≤jH
,17783.0)(≤ΩjHc
dT/ω=Ω
,2.00
dT
π≤Ω≤
ddTT
ππ≤Ω≤3.0.3.0πωπ≤≤
•由于模拟的巴特沃兹滤波器是频率的单调函数,
所以
•巴特沃兹的幅度
•带入得
,89125.0)
2.0
(≥
d
cT
jH
π
17783.0)
3.0
(≤
d
cT
jH
π
()N
c
cjH
2
2
/1
1
)(
ΩΩ+
=Ω
2
2
89125.0
1
)
2.0
(1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Ω
+N
dcT
π
22
17783.0
13.0
1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
+
N
dCT
π
2589.01
89125.0
1
)
2.0
(
2
2=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Ω
N
dcT
π
62.301
17783.0
13.022
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
N
dCT
π
008456.0
62.30
2589.0
)
3.0
2.0
(2==N
π
π
008456.0)
9
4
(=N
886.5=N
2589.0)
2.0
(886.52=
Ω
×
dcT
π
7474.0=Ω
dcT
6=N
2589.0)
2.0
(62=
Ω
×
dcT
π
7032.0=Ω
dcT
6=N
62.30)
3.0
(62=
Ω
×
dcT
π
7086.0=Ω
dcT
)679.0(182.0j±−
)497.0(497.0j±−
)182.0(679.0j±−
6
π
Im
0.7032
Re
s-平面
三对极点在s平面的位置如图
()()()()()()()()()()()()182.0679.0182.0679.0497.0497.0497.0497.0679.0182.0679.0182.0
7032.0
)(
6
jsjsjsjsjsjs
T
sHd
C−−−+−−−−−+−−−−−+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
()
21
1
21
1
21
1
2570.09972.01
6303.08557.1
3699.00697.11
1455.11428.2
6949.02971.11
4466.02871.0
−−
−
−−
−
−−
−
+−
−
+
+−
+−
+
+−
−
=
zz
z
zz
z
zz
z
zH
∑
=
−−
=
N
k
Ts
kd
ze
AT
zH
dk
1
1
.
1
)(
dT
j)679.0(182.0±−
)497.0(497.0j±−
)182.0(679.0j±−
())4945.03585.1)(4945.09945.0(4945.03640.0
12093.0
)(
222++++++
=
ssssss
sHC
∑
=−
=
N
kk
k
css
A
sH
1
.)(
()()
kssckksHssA
=
−=
7.1.2双线性变换法
•冲击响应不变法只能设计
带限系统，无法设计高通
系统。
•双线性变换法
将
映射到
∞≤Ω≤∞−
.πωπ≤≤−
•变换公式如下
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
1
1
1
12
z
z
T
s
d
()
()sT
sT
z
d
d
21
21
−
+
=
)Im(z
)Re(z
Unitcircle
z-plane
Ωj
σ
s-plane
One-to-One
transformation
z
sT
sT
=
−
+
)2/(1
)2/(1
•注意收敛域，即s的左半平面和z平面单位圆
之间的映射关系
()
()
()()
()()Ω−−
Ω++
=
−
+
=
221
221
21
21
dd
dd
d
d
TjT
TjT
sT
sT
z
σ
σ
Ω+=jsσ
⎩
⎨
⎧
>>
<<
10
10
z
z
σ
σ
•虚轴的映射关系
()
()
()
()Ω−
Ω+
=
−
+
=
21
21
21
21
d
d
d
d
Tj
Tj
sT
sT
z
Ω=js
1=z()
()Ω−
Ω+
=
21
21
d
dj
Tj
Tj
eω
)Im(z
)Re(z
的映像（单位圆）
左半平面的映像
Z平面
Ω=js
Ωj
σ
s平面
图示

用双线性变换法由s平面到z平面的映射
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
1
1
1
12
z
z
T
s
d
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
ω
ω
j
j
de
e
T
s
1
12
()
()
()2tan
2
2cos2
2sin22
2
2
ω
ω
ω
σ
ω
ω
d
j
j
dT
j
e
je
T
sj=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==Ω+
−
−
()2tan
2
ω
dT
j
j=Ω
()2tan
2
ω
dT
=Ω
()2arctan2dTΩ=ω
Ω
π
-π
)
2
arctan(2dTΩ
=ω
•预失真
•连续时间系统选频
特性
–巴特沃兹：通带、
阻带内单调
–I型切比雪夫：通
带等波纹、阻带内
单调
–II型切比雪夫：通
带纹内单调、阻带
等波纹
–椭圆：通带、阻带
内等波纹
)(ωjeH
πω
P
ωS
ω0
0
πω
)
2
tan(
2ω
dT
=Ω
Ω
)(ΩjHC
Ω
p
ΩS
Ω0
)
2
tan(
2p
d
pT
ω
=Ω
)
2
tan(
2s
d
sT
ω
=Ω
•相位特性
()
()
()2tan
2
2cos2
2sin22
2
2
ω
ω
ω
σ
ω
ω
d
j
j
dT
j
e
je
T
sj=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==Ω+
−
−
sae−
()2tan
2
ω
dT
a
sa−=−
)(ωjeH
α
πα
T
2
π2−
α
πα
T
α
πα
T
2
−
α
πα
T
−
π2π−π
)
2
tan(
2ωα
dT
−
ω
α
dT
−
双线性变换对线性相位特性的影响
（虚线表示线性相位，实线表示由双线性变换得到的相位）
例7.3
.1)(89125.0≤≤ωjeH,2.00πω≤≤
,17783.0)(≤ωjeH.3.0πωπ≤≤
.1)(89125.0≤Ω≤jHc(),22.0tan
2
0π
dT
≤Ω≤
,17783.0)(≤ΩjHc
().23.0tan
2
∞≤Ω≤π
dT
()().89125.022.0tan2≥πjHc
()(),17783.023.0tan2≤πjHc
()N
c
cjH
2
2
/1
1
)(
ΩΩ+
=Ω
()2
2
89125.0
1
)
1.0tan2
(1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Ω
+N
c
π
()22
17783.0
115.0tan2
1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
+
N
c
π
()
()
30466.5
1.0tan
15.0tan
log2
1
89125.0
1
1
17783.0
1
log2
2
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
π
N6=N
7662.0=Ω
c
())5871.04802.1)(5871.00836.1(5871.03996.0
20283.0
)(
222++++++
=
ssssss
sHC
6
π
Im
0.766
Re
s-平面
())5871.04802.1)(5871.00836.1(5871.03996.0
20283.0
)(
222++++++
=
ssssss
sHC
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
−
−
−
1
1
1
1
1
1
2
1
12
z
z
z
z
T
s
d
()
()()()()()
()
()()()()
()
()
()
()
()
()()()212121
6
1
2221
2
1
2221
2
1
2221221
2
1
22
2
111
2
1
2
1
2155.09044.013583.00106.117051.02686.11
10007378.0
)5871.04802.1)(5871.00836.1(7051.02686.113863.5
120283.0
)5871.04802.1)(5871.00836.1(7879.38258.63863.5
120283.0
)5871.04802.1)(5871.00836.1(215871.013996.0*2214
120283.0
)5871.04802.1)(5871.00836.1(15871.0113996.014
120283.0
)(
−−−−−−
−
−−
−
−−
−
−−−−−
−
−−−−
−
+−+−+−
+
=
+++++−
+
=
+++++−
+
=
+++++++−++−
+
=
+++++++−+−
+
=
zzzzzz
z
sssszz
z
sssszz
z
sssszzzzz
z
sssszzzz
z
zH
•双线性变换是将整个
虚轴映射到单位圆
上，所以幅频特性下
降的快一些。
•另外在连续时间系统
有一个6阶零点，
•因此在离散时间系统
中对应的z＝－1处有
一个6阶零点。
•和连续时间系统比较：
–频率响应相同
–具有最平特性
–
–离散时间系统的响应是周期的
–离散时间系统的频率响应下降的快一点
()N
c
cjH2
2
/1
1
)(
ΩΩ+
=Ω
()2tan
2
ω
dT
=Ω
()
()
N
c
jeH
2
2
2tan
2tan
1
1
)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
ω
ω
ω
0)(
2
=cjeHω
巴特沃兹逼近
I型切比雪夫逼近
II型切比雪夫逼近
椭圆逼近
7.2用窗函数法设计FIR滤波器
•IIR滤波器中有延迟回路，因此设计中有
迭代出现，所以增加了设计难度。
•离散FIR设计简单。同时由于大多数情况
下假定为线性相位，避免了设计中复杂的
频谱因式分解问题。
•最简单的方法：窗函数法。
–给定一个频谱响应
–根据傅里叶逆变换
–是无限长的非因果序列
()∑
∞
−∞=
=
n
j
d
jenheH
d
ωω][
[]∫=
π
π
ωωω
π
deeHnhnjj
d)(
2
1
•窗函数法
–得到一个因果的系统
–即
–根据傅里叶变换中的调制（加窗）定理
[]
[]
⎩
⎨
⎧≤≤
=
其他,0
,0,Mnnh
dhd
[][][]nnhnhd
ω=[]
⎩
⎨
⎧≤≤
=
其他,0
0,1Mn
nω
()()()∫−
−=
π
π
θωθωθ
π
deWeHeHjj
d
j
2
1
)(
NWR/2)(πθ的主瓣宽度的一半为注意：
(1)时，

正好与
的一半相重叠。这时有

。
c
ωω=)(WR
θ−ω)(Hd
θ
5.0)0(/)(=HHc
ω
(2)时，

的主瓣全部在
的通带内，这时应出现正的肩峰。
Nc
π
ωω
2
−=)(θω−
RW)(θ
dH
(3)时，主瓣全部在通带外，
出现负的肩峰。
Nc/2πωω+=
(4)当

时，随

增加，
左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积
也随着

的旁瓣在通带内的面积
变化而变化，故

将围绕着零值而波动。
Nc
π
ωω
2
+>ω)(WR
θ−ω
)(Hω
)(WR
θ−ω
)(Hω
N/2c
π+ω=ω
(5)当

时，

的右边旁瓣将进入
的通带，右边旁瓣的起伏造成

值围绕
值而波动。
N
2
c
π
−ω<ω)(WR
θ−ω
)(Hd
θ)(Hω
)0(H
–加窗后，

使频响产生一过渡带，其宽度正好
等于窗的频响的主瓣宽度

。
–在

处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏
振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的
多少则取决于旁瓣的多少。
)(WR
ω
N
4π
=ωΔ
)(Hω
N
2
c
π
±ω=ω
•几点结论
•过渡带宽：由窗函数傅立叶变换的主瓣决定。
•通带和阻带的波纹：由窗函数旁瓣的积分决定。
–吉布斯(Gibbs)效应
因为窗函数的频响的幅度函数为
这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能
改变

的{jd1}值的大小，和主瓣的宽
度

，旁瓣的宽度

，但不能改变主瓣
与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频
响

的肩峰的相对值。对于矩形窗{zd0}相对肩峰
8.95%，不管N怎样改变，{zd0}肩峰总是8.95%，这
种现象称作吉布斯效应。
)N/4(π
)(WR
ω
)N/2(π
)(Hω
)
2
sin(/)
2
N
sin()(WR
ωω
=ω
•窗函数长度的选取
•计算量
–越短越好
•逼近程度
–越长越好
•吉布斯现象
()()()
)2/sin(
]2/1sin[
1
11
0ω
ωω
ω
ω
ωω+
=
−
−
==−
+−
=
−∑
M
e
e
e
eeWMj
j
MjM
n
jnj
7.2.1常用窗函数的性质
1、基本概念
(1)窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。
(2)对窗函数要求：
a)希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，
这是因为过渡带等于主瓣宽度。
b)尽量减少窗谱{zd0}旁瓣的相对幅度，这样可使
肩峰和波纹减少。
常用的窗函数
•矩形窗
•Bartlett(三角)窗
•Hanning窗
•Hamming窗
•Blackman窗
[]
⎩
⎨
⎧≤≤
=
其他,0
0,1Mn
nω
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤<−
≤≤
=
其他,0
2/,/22
0./2
][MnMMn
MnMn
nω
()
⎩
⎨
⎧≤≤−
=
其他,0
0,/2cos5.05.0
][
MnMn
n
π
ω
[]
⎩
⎨
⎧≤≤−
=
其他,0
0),/2cos(46.054.0MnMn
n
π
ω
[]
()
⎩
⎨
⎧≤≤+−
=
其他,0
0),/4cos(08.0/2cos5.042.0MnMnMn
n
ππ
ω
名称{zd0}旁
瓣幅度
主瓣近似
宽度
{zd0}逼
近误差
等效
Kaiser窗
等效
Kaiser过
渡带宽
矩形-134π/(M+1)21dB01.8π/M
巴特利
特
-258π/M25dB1.332.37π/M
汉宁-318π/M44dB3.865.01π/M
哈明-418π/M51dB4.866.27π/M
布莱克
曼
-5712π/M74dB7.049.19π/M
•旁瓣降低。
•主瓣展宽。
矩形窗Bartlett窗Hanning窗
Hamming窗Blackman窗
7.2.2广义线性相位的合并
•广义线性相位是我们需要的。
•注意到窗函数的对称性质
•即
•若所需的脉冲响应也以M/2对称，则加窗后的脉冲
响应也以M/2对称。
•若所需的脉冲响应也以M/2反对称，则加窗后的脉
冲响应也以M/2反对称。
[]
⎩
⎨
⎧≤≤−
=
其他,0
0],[mNnM
n
ω
ω
()2/)(Mjj
e
jeeWeWωωω−=
()2/)(Mjj
e
jeeAeHωωω−=
()2/
0)(MjjjeejAeHωωω−=
•如果冲击响应对称，则
•即
•化简
•可见：
–系统为广义线性相位
–可用周期卷积求
()()2/Mjj
e
j
deeHeHωωω−=
()()()()()θ
π
π
π
θωθωθθωdeeWeeHeHMjj
e
Mjj
e
j∫−
−−−−=2/2/
2
1
()2/)(Mjj
e
jeeAeHωωω−=
()()()()∫−
−=
π
π
θωθωθ
π
deWeHeAj
e
j
e
j
e2
1
例7.7线性相位低通滤波器
要求的频率响应定义
则
由于
所以如果使用对称窗函数便能得到广义线性
相位系统
()
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤<
<
=
−
πωω
ωωω
ω
c
c
Mj
j
lp
e
eH
,0
,2/
[]
()
[]∫−
−
−
−
==c
c
n
Mn
Mn
deenhcnjMj
lp
ω
ω
ωωω
π
ω
ω
π2/
)]2/(sin[
2
12/
[][]nhnMhlplp
=−
()
()[]
()
[]n
Mn
Mn
nhcω
π
ω
2/
2/sin
−
−
=
理想频率响应间断点处得到的逼近形式的说明
δ+1
δ−1
δ
δ−
5.0
ωπ
c
ω
ωΔ
)(ωj
eeA
)(ωj
eeH
m
ωΔ
)()(θω−j
eeW
ωθ
7.2.3Kaiser窗滤波器设计法
•利用{dy}类Bessel函数可以构造一种近似{zj0}
的窗函数。
•Kaiser窗的定义为：
•除了长度参数外，还有形状参数。
•过渡带宽
[]
()[]()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
其他,0
0,
/1
0
2
1
2
0
Mn
I
nI
n
β
ααβ
ω
.ps
ωωω−=Δ
δ
10log20−=A
M=10
M=20
M=40
)6(=β
3=β
6=β
0=β
20)(M=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≤≤−+−
>−
=
21,0.0
5021),21(07886.0)21(5842.0
50),7.8(1102.0
4.0
A
AAA
AA
β
ωΔ
−
=
285.2
8A
M
[]
()[]()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
其他,0
0,
/1
0
2
1
2
0
Mn
I
nI
n
β
ααβ
ω
2
M
a=
例7.8用Kaiser窗设计滤波器
1.给出技术指标；
2.求出截至频率；
3.确定Kaiser窗的参数；
4.计算滤波器冲击响应。
πω4.0=
p
πω6.0=
s01.01
=δ001.02
=δ
001.021
==δδ
π
ππωω
ω5.0
2
6.04.0
2
=
+
=
+
=sp
c
πωωω2.0=−=Δ
ps
60log2010
=−=δA635.5)7.8(1102.0=−=Aβ
372.36
2.0285.2
860
285.2
8
==
×
−
=
Δ
−
=
πω
A
M
[]
()
()[]()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
其他,0
0,
/1
2/
)]2/(sin[
0
2
1
2
0
Mn
I
nI
Mn
Mn
nhc
β
ααβ
π
ω
2
M=α
()
()
()⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−
≤≤−
=
πωω
ωω
ω
ω
ω
s
j
e
p
j
e
A
eA
eA
E
,0
0,1
样本数（n）
幅度
幅度
7.2.4Kaiser窗与其他窗之间的关系
上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗
等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而
且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而
凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。
7.3Kaiser窗设计FIR滤波器举例
•7.3.1高通滤波器
–响应
()
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤<
<≤
=
−πωω
ωω
ω
ω
c
Mj
cj
hp
e
eH
,
0,0
2/
)()(2/ωωωj
lp
Mjj
hpeHeeH−=−
,
)2/(
)2/(sin
)2/(
)2/(sin
][
Mn
Mn
Mn
Mn
nhc
hp−
−
−
−
−
=
π
ω
π
π
例7.9用Kaiser窗设计高通滤波器
•技术指标
πωωδδ
ωωδ
ω
ω
≤≤+≤≤−
≤≤
p
j
s
j
eH
eH
11
2
1)(1
)(
πωπω5.0,35.0==
ps
021.021
===δδδ
π
ππωω
ω425.0
2
5.035.0
2
=
+
=
+
=sp
c
πωωω15.0=−=Δ
sp56.33log2010
=−=δA
6.2)21(07886.0)21(5842.04.0=−+−=AAβ
247.23
15.0285.2
856.33
285.2
8
==
×
−
=
Δ
−
=
πω
A
M
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≤≤−+−
>−
=
21,0.0
5021),21(07886.0)21(5842.0
50),7.8(1102.0
4.0
A
AAA
AA
β
•I类
247.23
15.0285.2
856.33
285.2
8
==
×
−
=
Δ
−
=
πω
A
M
•II类
•多频带选频滤波器
•每个间断点足够远，
则间断点的特性相同。
•所以误差逼近是成比
例的，即幅度为1的
间断点产生

峰值
逼近误差，则幅度为
1/2的间断点产生
峰值逼近误差。
()∑
=
+−
−
−=
mvN
k
k
kkmbMn
Mn
GGnh
1
1,
)2/(
)2/(sin
][
π
ω
δ
2δ
7.3.2离散时间微分器
•由于h[n]=-h[M-n]，所以得到的系统为III或IV型
FIR。
•Kaiser公式是针对单幅度间断点的频率响应，所
以不能直接用于微分器。
πωπωωω<<−=−,)()(2/Mjj
diffejeH
∞<<−∞
−
−
−
−
−
=n
Mn
Mn
Mn
Mn
nhdiff,
)2/(
)2/(sin
)2/(
)2/(cos
)(
2π
ππ
2
2
2
)2(
)2(sin
)2(
)2(cos
)2(
)2(sin
)2(
)2(cos
)2/(
)2/(sin
)2/(
)2/(cos
)(
Mn
Mn
Mn
Mn
Mn
Mn
Mn
Mn
MnM
MnM
MnM
MnM
nMhdiff
−
−
+
−
−
−=
−
−−
−
−−
−
=
−−
−−
−
−−
−−
=−
π
ππ
π
ππ
π
ππ
例7.10用Kaiser窗设计微分器
•III类
•IV类
7.4FIR滤波器的{zj0}逼近
•以矩形窗为例
•特点：{zh0}的均方逼近。
•缺点：间断点的特性不好。
•窗函数不能单独控制不同频率上的逼近误差。
•引出了{zd0}最小准则（{zd0}误差最小化）。
⎩
⎨
⎧≤≤
=
其他,0
0],[
][
Mnnh
nhd
()()∫−
−=
π
π
ωωω
π
εdeHeHjj
d
2
2
2
1
逼近误差在一个频率处
正好满足要求，而在其
他频率处超标。
通带和阻带误差相同。
逼近误差在频率上是均
匀分布的，可以分别调
节通带和阻带内的波纹。
频率响应间断点两边的
误差{zd0}，离开间断点
后误差逐渐减小。
IIR窗函数
7.6IIR和FIR滤波器的评价
包括幅度和相位只有幅度响应
DSP中一般有乘加单
元。
可控性好，因为有最
佳理论。
可以逼近任意的的频
率响应。设计复杂。
迭代法。
xx的广义线性相
位，但不存在完整的
设计方法。
可以用完整的设计公
式设计各种选频滤波
器。
FIRIIR
作业：
•P4127.47.57.8
作业：
•1版
–P4097.7
–及第2版的7.97.107.117.137.14
•2版
–P4147.97.107.117.137.147.23
•1版
–P4077.1a7.47.8a7.117.12
–及第2版的7.117.137.15
•2版
–P4127.1a7.27.4a7.117.137.15
–及第1版的7.117.12
作业：