

k
k
z
z
k
zzz
zzz
zzz
zz
s)2(75.0]
)2)(1(
)5.0)(2(
[lim]
)2)(1(
)5.0(
[Re
2
2








kk
kTf)2(75.0)1(5.0)(




0
*
)()()(
k
kTtkTftf
所以有
相应的函数为：
返回
§5.5离散系统的数学模型
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传
递函数和离散状态空间表达式三种。
离散系统的数学模型
将输入序列x(n)，n=±1，±2，…变换为输出
序列y(n)的一种变换关系，称为离散系统。
记为y(n)=F[x(n)]其中，x(n)和y(n)可以理解为
t=nT时，系统的输入序列x(nT)和输出序列y(nT），
T为采样周期。
6/18/2010
9
线性离散系统
如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离
散系统，有如下关系式
若][][
2211
）（）（，）（）（nxFnynxFny
且有）（）（）（nbxnaxnx
21

其中和为任意常数，则
）（）（
）（）（）（）（
nbynay
nbxnaxFnxFny
21
21
][][


线性定常离散系统
输入与输出关系不随时间而改变的线性离散
系统称为线性定常离散系统。
脉冲传递函数（z传递函数）
在线性连续系统中，我们把初始条件为零的
条件下系统(或环节)输出信号的拉氏变换与输入信
号的拉氏变拉之比，定义为传递函数，并用它来
描述系统(或环节)的特性。
与此相类似，在线性离散系统中，我们把初
始条件为零的条件下系统(或环节)的输出离散信号
的Z变换与输入离散信号的z变换之比，定义为脉
冲传递函数，又称为z传递函数。脉冲传递函数是
离散系统的一个重要概念，是分析离散系统的有
力工具。
图5-15采样系统脉冲传递函数
1）脉冲传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输
出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系
统的脉冲传递函数（或z传递函数）。
）（
）（
）（
zX
zY
zG
应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信
号，如图5-15所示，在这种情况下，可以在输出端
虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同
的采样周期T同步工作。这样就可以沿用脉冲传递
函数的概念。
现在分析一个孤立的单位脉冲函数δ(t)加在线
性对象G(s)上的情况。
由于δ(t)的拉氏变换等于1，所以输出量的拉
氏变换y(s)=G(s)，进一步有y(t)=L-1[G(s)]。习惯上
将脉冲响应函数用g(t)表示，即g(t)=L
－1[G(s)]。
如果在G(s)上加的是δ(t－a)，即延迟到a时
刻才将脉冲函数加上，那么输出信号也自然地延
迟一段时间a，而成为g(t－a)。
再研究一系列脉冲依次到G(s)上的情况。脉冲
序列x*(t)可以表示成
)2()2()()()()0()(
*
TtTxTtTxtxtx
为了求出输出量在诸采样时刻的值，先计算各段
时间内的y(t)。
在0≤t<T时间内，实际起作用的只有t=0时刻
加入的那一个脉冲，其余各个脉冲尚未加入。因
此在这段时间内的输出量是y(t)=x(0)g(t),将t=0代
入上式得y(0)=x(0)g(0)。
在T≤t<2T时间内，y(t)=x(0)g(t)+x(T)g(t－T)，
将t=T代入上式得y(T)=x(0)g(T)+x(T)g(0)。依次类
推，可得出输出在各个采样时刻的值y(kT)＝(k=0，
1，2，…)。
于是y(t)的z变换为





0
)()(
k
k
zkTyzY

210
)2()()0(zTyzTyzy




2
1
)]0()2()()()2()0([
)]0()()()0([)0()0(
zgTxTgTxTgx
zgTxTgxgx
])2()()0()[0(
21

zTgzTggx
])2()()0()[(
321

ztgzTgzgTx





])()0()[2(
32
zTgzgTx









])()0([)2(
])2()()0([)(
])2()()0()[0(
12
211
21
zTggzTx
zTgzTggzTx
zTgzTggx









00
2121
)()(
])2()()0(][)2()()0([
kk
kk
zkTxzkTg
zTxzTxxzTgzTgg
)()(zXzG
可见)]([
)(
)(
)(
1
sGLZ
ZX
zY
zG

仅由对象本身的特性决定而
与输入信号无关。
由)(zG可求)(zY→)(kTy
——即只能给出输出信号的一连串离散数值)(kTy，而不能
给出连续信号本身。
初始条件为零时，)(
)(
)(
ZX
zY
zG即为脉冲传递函数。
*注意：
①)(sG表示的是某个线性环节本身的传递函数，而
)(zG表示的是线性环节与采样器两者组合体的脉冲
传函。尽管计算)(zG时只需知道线性环节自身的动特
性)(sG，但算出的)(zG却是包含了采样器的性质在内
的。要是没有采样器，只有那个线性环节，也就谈不
上脉冲传函了。
②)(zG与)(sG尽管都使用同一字母G，但zs
sGzG

|)()(！
6/18/2010
10
2)脉冲传递函数的求法
连续系统或元件的脉冲传递函数G(z)，可以通
过其传递函数G(s)来求取。
方法是：先求G(s)的拉氏反变换，得到脉冲过
渡函数g(t),再将g(t)按采样周期离散化，得到加权序
列g(nT)，{zh1}将g(nT)进行z变换，得出G(z)。这一
过程比较复杂，通常可根据z变换表，直接从G(s)
得到G(z)，而不必逐步推导。
若已知系统的差分方程，可对方程两端进行
z变换，应用求取。
)(
)(
)(
zX
zY
zG
例5-12:若描述采样系统的差分方程为
)()1(5)(1.0)1(7.0)2(kxkxkykyky
试求其脉冲传递函数。
解：对上面差分方程进行z变换，并令初始条件为0，
有
1.07.0
15
)(
)(
)(
)()(5)(1.0)(7.0)(
2
2




zz
z
zX
zY
zG
zXzzXzYzzYzYz
例、求图示系统的)(zG
解：(1)











bsasab
K
bsas
K
sG
11
))((
)(


























11
1
1
1
1
1
)(
)()(
)()(
zezeab
K
zG
z
tUee
ab
K
kTg
tUee
ab
K
tg
L
bTaT
bkTakT
btat
采样

(2)留数法







极点上的留数在G(s)
ez
z
sGzG
Ts
)()(

例．已知
)1(
1
)(


ss
sG，求)(zG
解：
0
1
)(


s
Ts
ez
z
ssGA

1)1(
1
0







z
z
ez
z
ss
s
s
Ts
1
2
)()1(


s
Ts
ez
z
sGsA

T
s
Ts
ez
z
ez
z
ss
s








1
)1(
1
)1(

∴T
ez
z
z
z
AAzG





1
)(
21

3）采样系统的开环脉冲传递函数
Ⅰ采样拉氏变换的性质
采样拉氏变换的两个重要性质
（1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即
）（）（
s
jksGsG
**
（2）若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉
氏变换相乘后再离散化，则可以从离散符号中
提出来，即
）（）（）（）（sEsGsEsG
****
][
Ⅱ开环脉冲传递函数
讨论采样系统在开环状态下的脉冲传递函数时，
应注意图中所示的两种不同的结构形式（如图5-16
所示）。
图5-16：环节串联的结构
串联环节之间无采样器时的脉冲传递函数
）（
）（
）（
）（zGG
zX
zY
zG
21

串联环节之间有采样器时的脉冲传递函数
）（）（
）（
）（
）（zGzG
zX
zY
zG
21

上式表明，被采样开关分隔的两个线性环节串
联时，其脉冲传递函数等于这两环节的脉冲传递函
数之积。这个结论可以推广到有n个环节串联而各相
邻环节之间都有采样开关分离的情形。无采样开关
分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于
这两个环节传递函数之积的Z变换。显然，这一结论
也可以推广到有n个环节直接串联的情况。但环节之
间存在采样开关与否时的脉冲传递函数不相等。
例3.有两个开环采样系统的结构如下，求其)(zG
(a)

(b)

解：(a)∵
as
sG


1
)(
1,
bs
sG


1
)(
2
∴
))((
1
)()()(
21
bsas
sGsGsG


)
11
(
1
bsasab





1例
)(
))((
)(1
)(
21
zGG
ezez
eez
ab
zG
bTaT
bTaT
a
















(b)∵
as
sG


1
)(
1
→
aT
ez
z
zG


)(
1

bs
sG


1
)(
2
→
bT
ez
z
zG


)(
2

∴
))((
)()()(
2
21
bTaT
b
ezez
z
zGzGzG



可见,)()()(
2121
zGzGzGG
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11
Ⅲ带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
设有零阶保持器的开环系统如图5-17（a）所
示,经简单变换为如图5-17（b）所示等效开环系统。
图5-17：带有零阶保持器的开环系统
根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得
)(]
)()(
[)(
*
sX
s
sG
e
s
sG
sY
psTp

)(]
)(
[)(]
)(
[)(
1
zX
s
sG
ZzzX
s
sG
ZzY
pp

于是，有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数
]
)(
[)1(
)(
)(
)(
1
s
sG
Zz
zX
zY
zG
p

例5-13设离散系统为具有零阶保持器的开环系统，
)(
)(
ass
a
sG
p


解：因为
)
11
(
11
)(
)(
22
assasass
a
s
sG
p




求系统的脉冲传递函数G(z)。
)()1(
)]1()1[(
1
1
1
)1(
)(
2
2
aT
aTaTaT
aT
p
ezz
eaTezaTez
a
ez
z
z
z
az
Tz
s
sG
Z
























))(1(
)]1()1[(
1
]
)(
[)1()(
1
aT
aTaTaT
p
ezz
eaTezaTe
a
s
sG
ZzzG







4）采样系统的闭环脉冲传递函数
在采样系统中，由于设置采样器方式是多种多
样的，所以闭环系统的结构形式也不是统一的。图
5-18是比较常见的系统结构图。图中输入端和输出
端的采样开关是为了便于分析而虚设的。
图5-18闭环系统结构图
)()()(sBsRsE
)()()()(sHsGsEsB
)()()()(zGHzEzRzE
)(1
)(
)(
zGH
zR
zE


)()()(zEzGzC
)(1
)(
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
zT


1)(sH
)(1
)(
)(
zG
zG
zT










)(1
)(
)(1
)(
sG
sG
Z
zG
zG
系统一
)()()(zBzRzE
)()()(zGHzEzB
闭环脉冲传递函数：
)(1
)(
)(
)(
)(
zHG
zG
zR
zY
z


闭环误差脉冲传递函数：
)(1
1
)(
)(
)(
zHGzR
zE
z
e


与连续系统类似，令或的分母多项式
为零，便可得到离散系统的特征方程：
)(z)(z
e

0)(1)(zGHzD
需要指出，离散闭环系统脉冲传递函数不能从
和求Z变换得来，即
)(s
)(s
e

)]([)(sZz)]([)(sZz
ee

例．
as
sG


1
)(，1)(sH，)()(sTzzT否？
解：
aT
ez
z
zG


)(
aT
aT
aT
ez
z
ez
z
ez
z
zG
zG
zT











2
)(
1
)(
)(1
)(
)(
而
1
1
)(
1
1
)(
1
)(1
)(
)(








as
as
as
sG
sG
sT
↓
Ta
e
z
sTZzT
)1(
1
)()('



∴)()(sTZzT
[系统二]
∵)()()(zBzRzE
)()()(zDzHzB
)()()(zEzGzD

∴
)()()()()(zEzHzGzRzE
→
)()(1
)(
)(
zHzG
zR
zE


∵
)()()(zEzGzC

∴
)()(1
)(
)(
)(
)(
zHzG
zG
zR
zC
zT



当
1)(sH
时，)(1
)(
)(
zG
zG
zT


，此时系统一与系统二等效。

B(t)
B*(t)
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12
系统三、设闭环离散系统结构如图5-19所示，试
证其闭环脉冲传函为
)()(1
)()(
)(
21
21
zHGzG
zGzG
z


图5-19离散系统结构
证明：由图可得
)()()(
12
zEzGzC)()()(
11
zEzGzE
)()()()(
12
zEzGzGzC
考虑到
)()()()(
)()()()(
12
12
zEzGzHGzR
zEzHGzRzE


)()(1
)(
)(
21
zHGzG
zR
zE


)()(1
)()(
)(
)(
)(
21
21
zHGzG
zGzG
zR
zC
z


B(s)
)()()()()(1
*
2
sEsGsHsRsE
系统四、设闭环离散系统结构如图5-20,试求其输
出采样信号的z变换函数
图5-20：闭环系统结构图
解：由图可得
)()()(sEsGsC)()()()(sCsHsRsE


离散化有)()()()(sCsGHsGRsC


取Z变换有
)(1
)(
)(
zGH
zRG
zC


)()()()()()(sCsHsGsRsGsC


y(t)r(t)
G(s)
H(s)
-
y(t)r(t)
G(s)H(s)
G(s)
y(t)R(s)H(s)
G(s)H(s)
系统五、
)()()(
21
zGzEzC
)()()()()()()(
*
11211
sEsGsHsGsGsRsE
)()()()(
*
1
1
*
2
1
*
1
*
sEsHGGsRGsE
)()()()(
11211
zEzHGGzRGzE
)(1
)(
)(
12
1
1
zHGG
zRG
zE


)(1
)()(
)(
12
21
zHGG
zGzRG
zC


)(
1
sG
)(
1
sG
)(sR
)()(
1
sHsG
)()(
1
sGsR
单回路梅森公式的推广
)(1
)(
)(
0
zG
zG
zC
f


Gf(z)：包括R(s)在内的由输入至输出的前向
通路的z变换；
G0(z)：开环脉冲传递函数。开环的定义为
从任一采样开关处断开，沿信号方向走一周
构成的。
通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同
配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要误
差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就
不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲
传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数
Y(z)(或C(z))。
对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭
环离散系统典型结构图，及其输出采样信号Z变换
函数Y(z)可参见表5-3。
返回
6/18/2010
13
§5.6采样控制系统的稳定性分析
5.6.1采样系统的稳定条件
在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根
据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程
的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。对线
性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采
用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。
s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为
z=esT，式中T为采样周期
s域中的任意点可表示为，映射到z域
则为

js
TjTTj
eeez


）（
于是，s域到z域的基本映射关系式为
Tzez
T


，
若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时s＝jω，
对应的复变量。后者是Z平面上的一个向量，
其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω
而改变。
Tj
ez


可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原
点为圆心的单位圆。
当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数，
小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为
正数，大于1。s平面的左、右半平面在z平
面上的映像为单位圆的内、外部区域。
T
ez


T
ez


图5-21：线性采样系统结构图
线性采样系统稳定的充要条件
线性采样系统如图5-21所示。
其特征方程为
01）（）（zGHzD
显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即
是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统
稳定充要条件是：
当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在
z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，
相应的线性定常系统是稳定的。
例：试求下图所示采样系统稳定时K值的范围，T=1s。

s
e
Ts
1
零阶保持器
1s
K
)(tf)(ty
T

图8－20采样系统
解：
)(1
)(
)(
zG
zG
zT


)(
1
1
1
)(zM
z
z
s
K
s
e
zG
Ts















))(1(
)1(
)(
T
T
ezz
eKz
zM





)1(
)1(
)(
TT
T
eKez
eK
zT





0632.0368.0Kz

16.21632.0368.0KK
应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样，
用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定
性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的
判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就
是劳斯判据。
5.6.2劳斯稳定判据
对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析
系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接
应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别
特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单
位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的
坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。
根据复变函数双线性变换公式，令
w
w
z



1
1
1
1



z
z
w或
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部
相加的形式，即
jvuwjyxz
2222
22
)1(
2
)1(
1
1
1
yx
y
j
yx
yx
jyx
jyx
w








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14
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，
应满足：
1
22
yx
0
)1(
1
22
22




yx
yx
u
左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平
面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图5-22。
因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
图5-22：Z平面和W平面的对应关系
离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH
（z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转
换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半
W平面。
例已知采样系统的特征方程式为
0632.0
2
zz
试判别系统的稳定性。

解将
w
w
z



1
1
代入上式中
0632.0
1
1
1
1
2
















w
w
w
w

0632.0736.0632.2
2
ww

632.0
0736.0
632.0632.2
0
2
w
w


系统稳定。
例5-16设闭环离散系统如图5-23所示，其中采样
周期T=1(s)，试求系统稳定性。
图5-23：例5-16闭环系统图
10
解：求出G(s)的z变换
1
1010
)1(
10
)(




ssss
sG
368.0368.1
318.6
368.0
10
1
10
)(
2






zz
z
z
z
z
z
zG
闭环系统脉冲传递函数为
)(1
)(
)(
zG
zG
z


故闭环系统特征方程为
0368.095.4)(1
2
zzzG
w
w
z



1
1
令代入上式，得
0368.0)
1
1
(95.4)
1
1
(
2






w
w
w
w
化简后，得W域特征方程
0318.6264.1582.3
2
ww
特征方程中系数符号不同，所以系统不稳定。
§5.7采样系统的稳态误差
线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广
到采样系统中来。
下面仅介绍稳态误差系数的计算。
设单位反馈采样系统如图5-26所示：
图5-26单位反馈采样系统
系统的开环脉冲传递函数为G(z)
采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样
时刻上的数值c(nT)(n=0，1，2…∞)，以及可以应
用Z变换的终值定理来计算。
)(
)(1
)(
)()()()(
)(1
)(
)(,)()()(
zR
zG
zG
zRzYzRzE
zG
zG
zzRzzY




)()()(
)(1
1
zRzzR
zG
e



Y
y
利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
)(1
)()1(
lim)()1(lim)(lim)(
11
*
zG
zRz
zEztee
zzt



上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式
有关。
与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系
统型别的概念，由于的关系，原线性连续系
统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分
系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传
递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型
别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。
sT
ez
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下面考查几种典型输入作用下的稳态误差。
(1)单位阶跃输入时的稳态误差
p
z
zz
kzG
z
z
zG
z
zEze











1
1
)](1[lim
1
1)(1
)1(
lim)()1(lim)(
1
11
式中称为稳态位置误差系数。)(lim
1
zGk
z
p


对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞,
从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个
或一个以上z=1的极点），则Kp=∞，从而e(∞)=0。
因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在
采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，
在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。
（2）单位斜坡输入时的稳态误差
v
z
zz
kzGz
T
z
Tz
zG
z
zEze
1
)]()1[(lim
)1()(1
)1(
lim)()1(lim)(
1
2
11










式中称为稳态速度误差系数。
因为0型系统的kv=0，I型系统的为有限值，II
型和II型以上系统的kv=，所以有如下结论：0型
离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统
在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以
上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。
)]()1[(lim
1
1
zGz
T
k
z
v


（3）单位加速度输入时的稳态误差
a
z
zz
kzGz
T
z
zzT
zG
z
zEze
1
)]()1[(lim
)1(2
)1(
)(1
)1(
lim)()1(lim)(
2
1
2
3
2
11











当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称
为加速度误差。
式中称为稳态加速度误差
系数。
)]()1[(lim
12
1
2
zGz
T
k
z
a


由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常
值，III型及III型以上系统的，ka=∞,因此有如下
结论成立：
0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数
作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下
存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系
统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时
的稳态位置误差。
返回
§5.8采样系统的暂态响应与脉冲传
递函数零、极点分布的关系
1、采样系统的时域解
局限：不能反应采样间隔中的信息
9
设闭环系统的脉冲传递函数为
)z（
式中m<n。为分析简便设其无重极点（分别为p
1
、
p
2
、······p
k
）。
在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点
在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。
与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递
函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。
2、零、极点分布的关系
采样系统的单位阶跃响应
)()()(zRzzY),1/()(zzzR其中
k
k
n
kpz
z
c
z
z
czY




1
0
1
)(（ck
为留数）
上式中{dy}项为系统输出的稳态分量，第二项为
输出的暂态分量。显然，随着极点在z平面位置的
变化，它所对应的暂态分量也就不同。
k
pz
k
zQ
dz
d
pQ

)()(

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k
k
n
kpz
z
c
z
z
czY




1
0
1
)(
k
k
n
kpz
z
c
z
z
czY




1
0
1
)(
闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系，
如图5-27所示
图5-27：实极点与动态响应的关系
若闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态
响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位园
内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛
越快；实极点位于单位园上，脉冲序列等幅变化；
实极点位于单位园外，脉冲序列发散。
若闭环实数极点为于左半z平面，则输出动态
响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位
园内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，
双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，
双向脉冲序列发散。













1
1
1
)(*
k
k
k
k
pz
z
A
pz
z
AZty
)cos(2)(
k
n
kkk
TnpcnTy
其中

kk
QTQ0,/
k
k
n
kpz
z
c
z
z
czY




1
0
1
)(
若|p
k
|>1，闭环复数极点位于z平面上的单位
圆外，动态响应为振荡脉冲序列；
若|p
k
|=1，闭环复数极点位于z平面上的单位
圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列；
若|p
k
|<1，闭环复数极点位于z平面上的单位
圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且||越小,即
复极点越靠近原点,振荡收敛越快（图8－26）；
)cos(2)(
k
n
kkk
TnpcnTy
闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关
系，如图5-28所示
图5-28复数极点分布与响应的关系
通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数
的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质
和特点。
当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分
量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位
于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数
极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为Qk
／T。
若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡
角频率为π／T。为了使采样系统具有较为满意的暂
态响应，其z传递函数的极点{zh0}分布在单位圆内
的右半部靠近原点的位置。
在线性连续系统中采用的，根据一对主导极点分
析系统暂态响应的方法，也可以推广到采样系统。
综上所述,离散系统的动态特性与闭环极点的分布
密切相关。当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时,
由于输出衰减脉冲交替变号,故动态过程质量很差;当闭
环复极点位于左半单位圆内时,由于输出衰减高频振荡
脉冲,故动态过程性能欠佳。
因此,在离散系统设计时,应把闭环极点安置在z平
面的右半单位圆内,且尽量靠近极点。
k
k
n
kpz
z
c
z
z
czY




1
0
1
)(
)cos(2
)1(
)1(
)(
1111
nQpc
Q
KP
nTy
n
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小结
本章首先讨论了离散信号的数学描述，介绍了信
号的采样与保持。引入采样系统的采样定理（香农
定理），即为了保证信号的恢复，其采样频率信号
必须大于等于原连续信号所含{zg}频率的两倍。
为了建立线性离散控制系统的数学模型，本章引
进Z变换理论及差分方程。Z变换在线性离散控制系
统中所起的作用与拉普拉斯变换在线性连续控制系
统中所起的作用十分类似。本章介绍的Z变换的若干
定理对求解线性差分方程和分析线性离散系统的性
能是十分重要的。
本章扼要介绍了线性离散控制系统的分析综合
方法。在稳定性分析方面，主要讨论了利用Z平面
到W平面的双线性变换，再利用劳斯判据的方法。
值得注意的是，离散控制系统的稳定性除与系统固
有结构和参数有关外，还与系统的采样周期有关，
这是与连续控制系统分析相区别的重要一点。其它，
诸如稳态误差、动态响应等分析都有阐述。
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作业：7,8,10,11,13