随着数控技术不断进步, 数控车床加工中各种复杂形面也日渐增多, 如椭圆、抛物线、正弦曲线、余弦曲线、双曲线等各种非圆曲面。对于上述各种复杂成形面, 利用CAM 软件进行自动编程相对简单, 但由于种种原因, 在绝大多数情况下数控车床主要还是依靠手工编程。

　　椭圆轴线与数控车床Z 轴重合的情形相对比较简单, 其解决方案也多见于各类文献, 但在本例中椭圆轴线与数控车床Z 轴呈一定夹角, 编程和加工难度陡增,主要原因如下: ①机床数控系统本身既不存在加工椭圆等非圆曲线的G 指令, 更没有类似G68 这样的旋转指令, 使编程难度大大增加。②加工中变量的参数直接影响着加工的效率以及质量, 很容易产生过切报警, 即使程序正确无误, 实际加工时的参数调整也非常困难, 直接影响着加工能否顺利进行, 以及加工精度能否保证。

　　总而言之, 目前尚未见有表述类似实例的文章。本实例进行了有益的尝试和探索, 给出了切实可行的解决方案, 为类似问题提供了难得的参考及借鉴。椭圆宏程序的编制如下。

　　1. 椭圆方程

　　宏程序主要利用各种数学公式进行运算加工, 因此编制旋转椭圆程序操作者必须要掌握椭圆方程和旋转公式等各种数学公式的计算方法并加以灵活运用。

　　椭圆方程有两种形式, 分别是椭圆的标准方程和参数方程。

　　椭圆标准方程:

　　椭圆参数方程:

　　其中a 、b 分别为X、Z 所对应的椭圆半轴。

　　2. 旋转公式

　　由于数控车床并不像加工中心那样存在着旋转指令, 所以要利用旋转公式来进行椭圆的旋转。

　　旋转公式的定义:如图1 所示, 平面上绕点O 旋转, 使平面上任意一对对应点P 和P′与一个定点O 连接的线段都相等, 即OP = OP′, 且角∠POP′等于角θ, 点O称为旋转中心, 角θ称为旋转角。

　　旋转公式: 如图1 所示, 取直角坐标系, 以原点O为旋转中心, 旋转角为θ, 平面上任意一点P ( x, z) 旋转到P′( x′, z′) , 令∠XOP = α, 则∠XOP′= α+ θ, 且OP = OP ′。

　　于是X′ =OP_x ′= | OP ′| cos( α+ θ)
　　　　　= | OP′| ( cosα×cosθ- sinα×sinθ)
　　　　　= | OP | cosα×cosθ- | OP | sinα×sinθ
　　　　　= OP_x cosθ- PxPsinθ
　　　　　= xcosθ- zsinθ
　　同理　　　　Z′= xsinθ+ zcosθ
　　车床旋转公式为
　　

　　其中, X′、Z′为旋转后的坐标, X、Z 为旋转之前的坐标值, θ为旋转角度。

　　3. 终起点角度的计算

　　在利用椭圆参数方程编制加工程序中, 终点和起点的角度是重要的一步, 因为终、起点直接影响着加工零件的几何形状。

　　终点和起点的计算方法有两种, 一种是三角函数计算法; 另一种是用旋转公式求得未旋转前X、Z 的坐标。{zh1}进行椭圆角度的计算。

　　( 1) 三角函数计算法如图2 所示, 三角函数计算法主要是添加一些辅助线形成若干个三角形, 通过解三角形的方法求得起点与圆心的距离O₁ A 、终点与圆心的距离O₁B 在椭圆轴线方向的垂直距离, {zh1}用椭圆的参数方程反求没有旋转之前的椭圆角度。

　　例: 如图2 所示, 以O₁ 为原点, 点A 的坐标为( Z20, X13. 105 ) , 点B 的坐标为( Z - 7. 95,X12. 95, ) , 其中椭圆的长半轴和短轴分别为25mm,15mm, 旋转角度为20°。求没有旋转之前的椭圆起点和终点角度。

　　起点| O₁ A| =
　　　　　　　= 23. 911 ( mm)
　　　　∠AO₁O arcsin( AO/O₁ A)
　　　　　　　= arcsin ( 13. 105 /23. 911)
　　　　　　　= 33. 235°
　　∠AO₁E ＝∠AO₁O - ∠EO₁O = 33. 235°- 20°
　　　　　　= 13. 235°
　　AE ＝O₁ Asin∠AO₁ E = 23. 911 ×sin13. 235°
　　　　= 5. 474 ( mm)

　　由椭圆参数方程得

　　　　　sinα = X/ a = 5. 474 / 15 = 0. 6271
　　　　　　　　　　α≈21. 4°
终点| O₁ B |
　　　　　　= 15. 196 ( mm)
　　∠ CBO₁ = arcsin( CO₁ /O₁ B)
　　　　　　= arcsin ( 7. 95 / 15. 196)
　　　　　　= 31. 545°
　　∠ DBO₁ = ∠CBO₁ - ∠CBD = 31. 545°- 20°
　　　　　　= 11. 545°
　　O₁D ＝O₁Bsin∠DBO₁ = 15. 196 ×sin11. 545°
　　　　= 3. 041 ( mm)
　　由椭圆参数方程得
　　　　　　cosθ= Z /b = 3. 041 /25 = 0. 986 8
　　　　　　　　≈97°

　　最终求得椭圆旋转前的起点与终点角度分别为21. 4°和97°

　　( 2) 旋转公式求椭圆角度由旋转公式求得旋转变换公式

　　旋转公式求椭圆角度先分别将A、B 的坐标代入旋转变换公式中进行运算, 最终分别求得A、B 没有旋转之前的坐标值A′、B′的坐标( 如图3 所示) , {zh1}用椭圆参数方程求得没有旋转之前的椭圆角度。

　　例: 如图3 所示, 以O1 为原点, 点A 的坐标为( Z20, X13. 105) , 点B 的坐标为( Z - 7. 95, X12. 95) ,其中椭圆的长半轴和短轴分别为25mm、15mm, 旋转角度为20°。求没有旋转之前的椭圆起点和终点角度。

　　起点计算

　　A_Z = A_Z ′cos( - θ) - A_X′sin( - θ)
　　　= 20 ×cos ( - 20°) - 13. 105 ×sin ( - 20°)
　　　= 23. 276 ( mm)
　　　　cosα= Z / b = 23. 276 / 25 = 0. 931
　　　　　　　　　α≈21. 4°

　　终点计算

　　B_Z = B_Z′cos( - θ) - B_X′sin( - θ)
　　　　= - 7. 95cos ( - 20°) - 12. 95sin ( - 20°)
　　　　= - 3. 041 ( mm)
　　cosθ= Z /b = - 3. 041 /25 = - 0. 122
　　　　　　　　θ≈97°

　　最终求得椭圆旋转前的起点与终点角度分别为21. 4°和97°。

　　4. 程序编制

　　使用数控车床切削零件图如图4 所示, 毛坯材料为45 钢, 直径为50mm, 长度为65mm ( 1 号刀为粗车35°尖刀,2 号刀为精车35号尖刀, 3 号刀为切断刀) 。

　　程序如下( HNC 21T 数控系统) :
　　% 2
　　#10 =15
　　#11 =25
　　T0101 G95
　　G00 X100 Z100
　　M03 S600
　　G00 X50 Z2
　　G71 U2 R0. 5 P1 Q2 X0. 5 F0. 25 ( 粗加工N1 ～N2 段程序)
　　G00 X100 Z100
　　M03 S1800 T0202 ( 主轴正转, 1800r /min, 2 号精车刀)
　　G00 X50 Z2
　　N1 G00 X26. 209
　　G01 Z0 F0. 05
　　#12 = 21. 4
　　WHILE [ #12] LE 97
　　#13 = SIN [ #12 * PI /180] * #10
　　#14 = COS [ #12 * PI /180] * #11
　　#15 = 20* PI /180 ( 赋值旋转角度20°)
　　#16 = #14* SIN [ #15] + #13 * COS [ #15]
　　#17 = #14* COS [ #15] - #13* SIN [ #15]
　　G01 X [ #16* 2] Z [ #14 - 20 ] F0. 05 ( 运行加工椭圆轮廓)
　　#12 = #12 + 1 ( 自变量递增1 °)
　　ENDW
　　G02 X37. 73 Z - 40 R5 ( 加工R5mm 圆弧)
　　G01 X48 C1
　　Z - 44
　　X44 Z - 46
　　Z - 50
　　N2 X50
　　G00 X100 Z100 M05
　　M00
　　M03 S700 T0303 ( 主轴正转, 700r / min, 3 号切断刀)
　　G00 X50 Z - 45
　　G01 X1 F0. 07
　　G00 X50
　　X100 Z100
　　M30

　　5. 程序中变量的确定与注意事项

　　在旋转椭圆程序变量的赋值是一个重要的环节, 因为宏程序是利用许多段微小的直线来逼近轮廓的, 取值大了轮廓表面的逼近误差也大。

　　在加工中, 变量的赋值可以按粗车和精车来取值。粗加工程序变量的取值应根据预留加工余量的大小来确定, 在保证加工不过切的前提下, 我们可以选择较大的程序变量, 但是也不能过大, 变量过大会使精加工余量不均匀或形成过切; 精加工时我们主要是保证工件的质量, 为使工件的几何形状达到要求, 需要减少拟合的误差, 因此我们应该选择一个较小的程序变量。

　　6. 结语

　　通过实际加工生产, 上述措施能很好地解决加工中程序编制, 保证工件的形状几何精度, 解决加工出现的各种问题, 减少加工时间, 提高加工效率。